Q7. Calcule \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^{2}+2 x+1}-2 x\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}+2x+1}-2x\right).
Informações importantes dadas:
  • A expressão envolve uma raiz quadrada e um termo linear em x.
  • O limite é quando x tende a +\infty.
Observe que, tanto \sqrt{x^{2}+2x+1} quanto 2x tendem para +\infty quando x\to\infty. Portanto a expressão tem a forma indeterminada \infty-\infty, e precisamos manipular algebricamente para avaliar o limite.

Passo 2

Repare que o polinômio dentro da raiz é um quadrado perfeito:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
A raiz quadrada de um quadrado é o valor absoluto:
\sqrt{(x+1)^{2}}=|x+1|.
Explicando devagar: |x+1| significa x+1 se x+1\ge 0 e -(x+1) se x+1<0. Como estamos enviando x para +\infty, para valores suficientemente grandes temos x+1>0. Logo, para x grande,
\sqrt{x^{2}+2x+1}=|x+1|=x+1.
Substituindo na expressão:
\sqrt{x^{2}+2x+1}-2x=(x+1)-2x=1-x.
Agora basta tomar o limite de 1-x quando x\to\infty:
\lim_{x\to\infty}(1-x) = -\infty,
pois a parte -x domina e tende para menos infinito. Portanto o limite é -\infty.

Passo 3

(Método alternativo — técnica da conjugada, útil para outros problemas)
Multiplica-se numerador e denominador pela conjugada \sqrt{x^{2}+2x+1}+2x:
\sqrt{x^{2}+2x+1}-2x = \frac{\big(\sqrt{x^{2}+2x+1}-2x\big)\big(\sqrt{x^{2}+2x+1}+2x\big)}{\sqrt{x^{2}+2x+1}+2x} = \frac{x^{2}+2x+1-4x^{2}}{\sqrt{x^{2}+2x+1}+2x}.
Simplificando o numerador:
\frac{-3x^{2}+2x+1}{\sqrt{x^{2}+2x+1}+2x}.
Dividindo numerador e denominador por x (para analisar comportamento quando x\to\infty):
\frac{-3x+2+\tfrac{1}{x}}{\sqrt{1+\tfrac{2}{x}+\tfrac{1}{x^{2}}}+2}.
Quando x\to\infty o numerador tende a -\infty (porque -3x\to -\infty) e o denominador tende a 3. Logo o quociente tende a -\infty, confirmando o resultado do método anterior.

Resposta

-\infty

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