Q7. Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações importantes dadas:
- A expressão envolve uma raiz quadrada e um termo linear em
. - O limite é quando
tende a .
Observe que, tanto
quanto
tendem para
quando
. Portanto a expressão tem a forma indeterminada
, e precisamos manipular algebricamente para avaliar o limite.
Passo 2
Repare que o polinômio dentro da raiz é um quadrado perfeito:
A raiz quadrada de um quadrado é o valor absoluto:
Explicando devagar:
significa
se
e
se
. Como estamos enviando
para
, para valores suficientemente grandes temos
. Logo, para
grande,
Substituindo na expressão:
Agora basta tomar o limite de
quando
:
pois a parte
domina e tende para menos infinito. Portanto o limite é
.
Passo 3
(Método alternativo — técnica da conjugada, útil para outros problemas)
Multiplica-se numerador e denominador pela conjugada :
Multiplica-se numerador e denominador pela conjugada
Simplificando o numerador:
Dividindo numerador e denominador por
(para analisar comportamento quando
):
Quando
o numerador tende a
(porque
) e o denominador tende a
. Logo o quociente tende a
, confirmando o resultado do método anterior.