Um retângulo inscrito na semicircunferência de diâmetro a tem lados x e y, sendo que y está sobre o diâmetro a. Expresse y em função de x. Expresse a area do retângulo em função de x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função que dá a largura do retângulo (lado y) em função da altura x, quando ele está inscrito numa semicircunferência de diâmetro a, e em seguida expressar a área A(x) do retângulo. Vamos usar geometria analítica (posicionar o centro da semicircunferência na origem) e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Posicionamos a semicircunferência com raio r=tfrac a2 centrada na origem. Os vértices superiores do retângulo têm coordenadas (pmtfrac y2,x) e pertencem à circunferência de raio r. Aplicando Pitágoras:

Passo 3

Isolamos y na equação obtida:

Passo 4

Calculamos a área do retângulo como produto da base pela altura:

Resposta

[
y(x) = \sqrt{a^2 - 4x^2}
]
[
A(x) = x\sqrt{a^2 - 4x^2}
]

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