Um retângulo inscrito na semicircunferência de diâmetro
tem lados
e
, sendo que
está sobre o diâmetro
. Expresse
em função de
. Expresse a area do retângulo em função de
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função que dá a largura do retângulo (lado y) em função da altura x, quando ele está inscrito numa semicircunferência de diâmetro a, e em seguida expressar a área A(x) do retângulo. Vamos usar geometria analítica (posicionar o centro da semicircunferência na origem) e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Posicionamos a semicircunferência com raio
centrada na origem. Os vértices superiores do retângulo têm coordenadas
e pertencem à circunferência de raio
. Aplicando Pitágoras:
Passo 3
Isolamos
na equação obtida:
Passo 4
Calculamos a área do retângulo como produto da base pela altura:
Resposta
[
y(x) = \sqrt{a^2 - 4x^2}
]
y(x) = \sqrt{a^2 - 4x^2}
]
[
A(x) = x\sqrt{a^2 - 4x^2}
]
A(x) = x\sqrt{a^2 - 4x^2}
]