O retângulo A B C D, onde seus vértices são A=(0,0), B=(8,0), C=(8,4) e D=(0, 4), é dividido em 32 quadrados, cada um com área um e vértices com coordenadas inteiras. Quantos paralelogramos, incluindo os 32 quadradinhos, podem ser formados, sendo cada paralelogramo uma união destes quadradinhos.

Passo 1

Então, a questão diz que temos um retângulo ABCD de “8 por 4” dividido em 32 quadradinhos de área 1 com vértices em pontos inteiros. A pergunta é: quantos paralelogramos (incluindo esses 32 quadradinhos) dá pra montar, desde que cada paralelogramo seja união de quadradinhos inteiros?
Conteúdo: é um problema de contagem/combinatória sobre figuras no grid. Vamos ver que, para formar um paralelogramo “inteiro” sem cortar quadradinhos, as bordas têm de seguir as linhas do grid (ou seja, são retângulos). Preciso usar combinação para escolher linhas verticais e horizontais.

Passo 2

Por que só retângulos?
Se você tentasse um paralelogramo inclinado, a aresta cortaria quadradinhos no meio – aí não seria união exata de quadradinhos inteiros. Logo, todo paralelogramo “legal” aqui é um retângulo alinhado ao grid.
Como contamos retângulos em um grid de 8 × 4? Basta escolher duas linhas verticais dentre as 9 linhas verticais possíveis (de x=0 a x=8) e duas linhas horizontais dentre as 5 possíveis (de y=0 a y=4). Cada par de linhas verticais dá as bordas esquerda e direita; cada par de linhas horizontais dá as bordas inferior e superior.

Passo 3

Aplicando a combinação:
  • Número de jeitos de escolher 2 linhas dentre 9:
binom92 ;=;9cdot 82=36
  • Número de jeitos de escolher 2 linhas dentre 5:
binom52 ;=;5cdot 42=10
Como a escolha vertical é independente da horizontal, multiplica-se:
36 times 10 = 360

Resposta

360 paralelogramos.

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