1. Um retificador em ponte, com um filtro capacitivo de entrada, tem uma tensão de pico na saída do secundário de \mathbf{2 5 V}. Se a resistência de carga for de \mathbf{2 2 0} \boldsymbol{\Omega} e a capacitância de \mathbf{5 0 0} \boldsymbol{\mu} \mathbf{F}, qual a ondulação de pico a pico (Ripple)? Considere diodos de Silício.
  2. Um retificador em ponte com um filtro capacitivo tem uma tensão na carga de \mathbf{1 5 V} (RMS) e de ondulação de \mathbf{1 V} para uma resistência de carga de 6808. Qual a tensão em RMS no enrolamento do secundário? Qual deve ser o valor do capacitor de filtro? Considere diodos ideais.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (vou listar separadamente para as duas questões):\n\nQuestão 8 — dados:\n\no Enrolamento do secundário tem tensão de pico 25\\ \mathrm{V}.\n\no Retificador em ponte com filtro capacitivo de entrada.\n\no Resistência de carga R = 220\\ \Omega.\n\no Capacitância C = 500\\ \mu\mathrm{F}.\n\no Considere diodos de silício (cada diodo com queda direta aproximada \approx 0{,}7\\ \mathrm{V}).\n\nQuestão 9 — dados:\n\no Retificador em ponte com filtro capacitivo de entrada.\n\no Tensão na carga (RMS) V_{\mathrm{load,rms}} = 15\\ \mathrm{V}.\n\no Ondulação (ripple) pico-a-pico \Delta V = 1\\ \mathrm{V}.\n\no Resistência de carga indicada como 6808 no enunciado; vou interpretar isso como R = 680\\ \Omega (valor comum em exercícios). Se você tiver outro valor, me avise depois.\n\no Considere diodos ideais (queda 0\\ \mathrm{V}).\n\nObservação necessária (assunção):\n\no Não foi informada a frequência da rede; vou assumir frequência da rede f = 60\\ \mathrm{Hz} (típico em muitos países, inclusive no Brasil). Para retificador de ponte com filtragem capacitiva isso significa que a frequência das cristas que recarregam o capacitor é f_{\mathrm{ripple}} = 2f = 120\\ \mathrm{Hz}. Se sua rede for 50\\ \mathrm{Hz}, o ripple será maior (posso recalcular se for o caso).\n\nNão começo a resolver aqui — só deixei claro o que o problema pede e os dados que vou usar.

Passo 2

Conceito-chave que usamos: como o capacitor de filtro reduz a ondulação em um retificador em ponte.\n\nExplicação intuitiva e fórmula básica:\n\no O retificador em ponte produz cristas de tensão no secundário com frequência duas vezes a da rede elétrica (porque em ponte tanto semiciclo positivo quanto negativo carregam o capacitor). Essas cristas recarregam o capacitor periodicamente.\n\no Entre duas recargas o capacitor fornece corrente à carga e sua tensão cai linearmente (aproximação válida quando a ondulação é pequena). Se a corrente de descarga for aproximadamente constante I_{\mathrm{load}}, a queda de tensão no capacitor durante o intervalo entre cristas \Delta t é\n \Delta V = \frac{I_{\mathrm{load}}\cdot \Delta t}{C}.\n\no Como as recargas ocorrem à frequência f_{\mathrm{ripple}}, temos \Delta t = 1/f_{\mathrm{ripple}} e portanto a fórmula prática usada em quase todos os exercícios é\n \Delta V = \frac{I_{\mathrm{load}}}{f_{\mathrm{ripple}}\,C}.\n\no Aqui I_{\mathrm{load}} é a corrente média da carga, C a capacitância, f_{\mathrm{ripple}} a frequência de repetição das cristas (para retificador em ponte com rede de f: f_{\mathrm{ripple}}=2f).\n\nVou usar essa fórmula nas duas questões. Também vou usar a relação entre tensão de pico e tensão RMS de um senoide:\n V_{\mathrm{pk}} = \sqrt{2}\,V_{\mathrm{rms}}.

Passo 3

Resolver a Questão 8 — primeiro passo: encontrar a tensão CC média aproximada que alimenta a carga.\n\nRaciocínio e fórmulas:\n\no O secundário tem tensão de pico V_{\mathrm{pk,sec}} = 25\\ \mathrm{V} (dado). Em retificador em ponte com diodos de silício, quando o capacitor está carregado ao pico, duas junções conduzem para carregar o capacitor, introduzindo uma queda aproximada de 2V_D, onde V_D é a queda direta de um diodo. Para silício usamos V_D \approx 0{,}7\\ \mathrm{V}.\n\no Então a tensão máxima que o capacitor alcança (tensão pico no capacitor) é aproximadamente\n V_{\mathrm{cap,pk}} \approx V_{\mathrm{pk,sec}} - 2V_D.\nSubstituindo:\n V_{\mathrm{cap,pk}} \approx 25 - 2\cdot 0{,}7 = 25 - 1{,}4 = 23{,}6\\ \mathrm{V}.\n\no Entre recargas o capacitor cai até V_{\mathrm{cap,pk}} - \Delta V. A tensão média na carga V_{\mathrm{DC}} costuma ficar aproximadamente no meio: V_{\mathrm{DC}} \approx V_{\mathrm{cap,pk}} - \frac{\Delta V}{2}. Mas para calcular \Delta V primeiro precisamos da corrente de carga I_{\mathrm{load}}.

Passo 4

Calcular a corrente de carga para o problema 8.\n\nA corrente média que sai para a carga é aproximadamente I_{\mathrm{load}} \approx V_{\mathrm{DC}}/R. Como \Delta V ainda é desconhecida, faremos a aproximação inicial de usar V_{\mathrm{DC}}\approx V_{\mathrm{cap,pk}} para obter I_{\mathrm{load}} (isso é comum quando o ripple não é enorme). Depois a fórmula para \Delta V usa I_{\mathrm{load}} e será consistente.\n\nAssim:\n I_{\mathrm{load}} \approx \frac{V_{\mathrm{cap,pk}}}{R} = \frac{23{,}6}{220}.\nCalculemos:\n I_{\mathrm{load}} \approx 0{,}10727\\ \mathrm{A} \approx 107{,}3\\ \mathrm{mA}.

Passo 5

Calcular a ondulação pico-a-pico \Delta V para o problema 8 usando a fórmula do capacitor.\n\nDados para usar:\n f_{\mathrm{ripple}} = 2f = 2\cdot 60 = 120\\ \mathrm{Hz},\n C = 500\\ \mu\mathrm{F} = 500\times 10^{-6}\\ \mathrm{F},\n I_{\mathrm{load}} \approx 0{,}10727\\ \mathrm{A}.\nFórmula:\n \Delta V = \frac{I_{\mathrm{load}}}{f_{\mathrm{ripple}}\,C}.\nSubstituindo números:\n \Delta V \approx \frac{0{,}10727}{120\cdot 500\times 10^{-6}}.\nCalculemos passo a passo:\n 120\cdot 500\times 10^{-6} = 120\cdot 0{,}0005 = 0{,}06,\n \Delta V \approx \frac{0{,}10727}{0{,}06} \approx 1{,}7878\\ \mathrm{V}.\nArredondando com precisão razoável: \Delta V \approx 1{,}79\\ \mathrm{V} (pico-a-pico).

Passo 6

Interpretação didática da resposta da Questão 8 e comentário rápido sobre sensibilidade à frequência.\n\nO resultado \Delta V \approx 1{,}79\\ \mathrm{V} significa que a tensão no capacitor (e portanto na carga) oscila entre cerca de 23{,}6\\ \mathrm{V} e 23{,}6 - 1{,}79 = 21{,}81\\ \mathrm{V} durante cada ciclo de recarga. Se a rede fosse \;50\\ \mathrm{Hz} a frequência de ripple seria 100\\ \mathrm{Hz} e o \Delta V aumentaria para cerca de \;2{,}15\\ \mathrm{V} — ou seja, mais ondulação quando a frequência é menor.\n\nPequeno conselho de prova: em problemas assim comece encontrando a corrente de carga aproximada e aplicar logo a fórmula \Delta V = I/(f_{\mathrm{ripple}}C). Lembre-se de descontar a queda em diodos se eles não forem ideais.

Passo 7

Resolver a Questão 9 — primeiro objetivo: relacionar V_{\mathrm{load,rms}}, a componente DC e a ondulação.\n\nVamos representar a tensão sobre a carga como uma componente DC V_{\mathrm{DC}} mais uma ondulação triangular (pequena) com pico-a-pico \Delta V = 1\\ \mathrm{V}.\n\nPropriedade útil: se uma tensão é a soma de uma componente DC e de uma onda triangular com amplitude pico-a-pico \Delta V, a potência média na carga (e portanto a tensão RMS) satisfaz\n V_{\mathrm{load,rms}}^2 = V_{\mathrm{DC}}^2 + V_{\mathrm{ripple,rms}}^2,\nonde para um triângulo simétrico centrado em zero\n V_{\mathrm{ripple,rms}} = \frac{\Delta V}{2\sqrt{3}},\nlogo\n V_{\mathrm{load,rms}}^2 = V_{\mathrm{DC}}^2 + \frac{\Delta V^2}{12}.

Passo 8

Usar os números da Questão 9 para achar V_{\mathrm{DC}}.\n\nDados:\n V_{\mathrm{load,rms}} = 15\\ \mathrm{V},\quad \Delta V = 1\\ \mathrm{V}.\nFórmula:\n V_{\mathrm{DC}} = \sqrt{V_{\mathrm{load,rms}}^2 - \frac{\Delta V^2}{12}}.\nSubstituindo:\n V_{\mathrm{DC}} = \sqrt{15^2 - \frac{1^2}{12}} = \sqrt{225 - \frac{1}{12}} = \sqrt{225 - 0{,}083333\ldots}.\n V_{\mathrm{DC}} = \sqrt{224{,}916666\ldots} \approx 14{,}9989\\ \mathrm{V}.\nPraticamente 15\\ \mathrm{V} (a diferença é muito pequena porque a ondulação é bem pequena).

Passo 9

Relacionar V_{\mathrm{DC}}, \Delta V e a tensão de pico do enrolamento secundário para retificador em ponte com diodos ideais.\n\nEm retificador com diodos ideais o capacitor carrega até a tensão de pico do secundário: V_{\mathrm{cap,pk}} = V_{\mathrm{pk,sec}} (não descontamos queda de diodo porque são ideais neste item).\n\nA tensão DC média na carga fica aproximadamente no meio do ciclo de descarga:\n V_{\mathrm{DC}} \approx V_{\mathrm{cap,pk}} - \frac{\Delta V}{2}.\nPortanto podemos inverter para obter o pico do secundário:\n V_{\mathrm{pk,sec}} \approx V_{\mathrm{DC}} + \frac{\Delta V}{2}.\nSubstituindo os valores obtidos:\n V_{\mathrm{pk,sec}} \approx 14{,}9989 + \frac{1}{2} = 14{,}9989 + 0{,}5 = 15{,}4989\\ \mathrm{V}.

Passo 10

Obter a tensão RMS no enrolamento secundário para a Questão 9.\n\nRelação senoide:\n V_{\mathrm{rms,sec}} = \frac{V_{\mathrm{pk,sec}}}{\sqrt{2}}.\nSubstituindo V_{\mathrm{pk,sec}} \approx 15{,}4989\\ \mathrm{V}:\n V_{\mathrm{rms,sec}} \approx \frac{15{,}4989}{\sqrt{2}} \approx \frac{15{,}4989}{1{,}41421356} \approx 10{,}958\\ \mathrm{V}.\nArredondando: V_{\mathrm{rms,sec}} \approx 10{,}96\\ \mathrm{V}.

Passo 11

Calcular o capacitor necessário na Questão 9 usando a fórmula do ripple.\n\nPassos:\n\no Corrente de carga média:\n I_{\mathrm{load}} = \frac{V_{\mathrm{DC}}}{R} \approx \frac{14{,}9989}{680}.\nCalculemos:\n I_{\mathrm{load}} \approx 0{,}022058\\ \mathrm{A} \approx 22{,}06\\ \mathrm{mA}.\n\no Fórmula do ripple (como antes):\n \Delta V = \frac{I_{\mathrm{load}}}{f_{\mathrm{ripple}}\,C},\nonde f_{\mathrm{ripple}} = 2f = 120\\ \mathrm{Hz}. Reorganizando para C:\n C = \frac{I_{\mathrm{load}}}{f_{\mathrm{ripple}}\,\Delta V}.\nSubstituindo números:\n C = \frac{0{,}022058}{120\cdot 1} = \frac{0{,}022058}{120} = 0{,}000183817\\ \mathrm{F}.\nConvertendo para microfarads:\n C \approx 183{,}8\\ \mu\mathrm{F}.\nArredondando para valor comercial: C \approx 180\\ \mu\mathrm{F} ou 220\\ \mu\mathrm{F} dependendo da precisão desejada. Mas o cálculo direto dá cerca de 184\\ \mu\mathrm{F}.

Resposta

  1. \Delta V \approx 1{,}79\\ \mathrm{V} (pico-a-pico, assumindo rede 60\\ \mathrm{Hz}).\n9) V_{\mathrm{rms,sec}} \approx 10{,}96\\ \mathrm{V}\n C \approx 184\\ \mu\mathrm{F} (aprox.; valor comercial típico 180\\ \mu\mathrm{F} ou 220\\ \mu\mathrm{F}).

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