[Valor 1,0] Uma maneira de converter uma arritmia cardíaca em um ritmo normal é a cardioversão, que se dá mediante a aplicação de descargas elétricas na região próxima ao coração do paciente, graduadas de acordo com sua necessidade. Os desfibriladores usuais armazenam até 360 J de energia potencial elétrica, alimentados por uma diferença de potencial de 4000 V. Considerando uma situação na qual haja necessidade de usar um desfibrilador em uma criança de 40 kg , o valor da capacitância do capacitor do desfibrilador na segunda desfibrilação, em \mu \mathrm{F}, será igual a? Importante: para uma criança, a quantidade de energia é de 4 J por kg de massa

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a capacitância do capacitor do desfibrilador (em \mu\mathrm{F}) necessária para aplicar a descarga numa criança de 40\\ \mathrm{kg}.\n\nInformações dadas no enunciado:\n\n- Energia necessária por criança: 4\\ \mathrm{J} por 1\\ \mathrm{kg} (isso foi informado no enunciado).\n- Massa da criança: 40\\ \mathrm{kg} (dado no enunciado).\n- Diferença de potencial (tensão) do desfibrilador: 4000\\ \mathrm{V} (dado no enunciado).\n- Informação extra: os desfibriladores usuais armazenam até 360\\ \mathrm{J} (dado no enunciado). (Vou usar a tensão fornecida para calcular a capacitância; o valor 360\\ \mathrm{J} é apenas informação sobre capacidade máxima.)\n\nO que o problema quer: calcular a capacitância C que armazena a energia necessária para a criança, usando a tensão disponível, e expressar o resultado em \mu\mathrm{F}.

Passo 2

Conceito central (fórmula que vamos usar) e derivação curta e didática.\n\nQuando temos um capacitor carregado a uma tensão \,V, a energia elétrica armazenada nele é dada por\n E=\tfrac{1}{2} C V^{2}.\n\nExplicando essa fórmula de forma simples: imagine-se carregando o capacitor infinitesimalmente, adicionando pequenas cargas \mathrm{d}q. A tensão no capacitor quando há carga q é v=q/C. O trabalho (energia) necessário para adicionar \mathrm{d}q é v\,\mathrm{d}q=(q/C)\,\mathrm{d}q. Integrando de q=0 até q=Q (onde Q=C V) obtemos\n E=\int_{0}^{Q}\frac{q}{C}\,\mathrm{d}q=\frac{Q^{2}}{2C}=\frac{(C V)^{2}}{2C}=\tfrac{1}{2} C V^{2}.\n\nAqui cada símbolo significa:\n\n- E: energia armazenada no capacitor (em joules, \mathrm{J}).\n- C: capacitância do capacitor (em farads, \mathrm{F}).\n- V: diferença de potencial aplicada ao capacitor (em volts, \mathrm{V}).\n\nNo nosso problema conhecemos E (energia necessária para a criança) e V (tensão do aparelho), então isolamos C:\n C=\frac{2E}{V^{2}}.

Passo 3

Calcular a energia necessária para a criança usando a dosagem dada.\n\nA quantidade de energia necessária é 4\\ \mathrm{J} por 1\\ \mathrm{kg}. Para uma criança de 40\\ \mathrm{kg}:\n E = 4\\ \mathrm{J/kg}\times 40\\ \mathrm{kg} = 160\\ \mathrm{J}.\n\nEntão a energia que o capacitor precisa armazenar é \,E = 160\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Substituir na fórmula e isolar C.\n\nUsando \,C=\dfrac{2E}{V^{2}}, com E=160\\ \mathrm{J} e V=4000\\ \mathrm{V}, temos\n C=\frac{2\cdot 160}{(4000)^{2}}=\frac{320}{4000^{2}}.

Passo 5

Fazer a aritmética passo a passo sem calculadora (mostrar simplificação).\n\nCalcule 4000^{2}:\n 4000^{2}=4{,}000\times 4{,}000=16{,}000{,}000.\n\nEntão\n C=\frac{320}{16{,}000{,}000}.\n\nSimplificando a fração: divida numerador e denominador por 16:\n \frac{320}{16{,}000{,}000}=\frac{20}{1{,}000{,}000}=2\times 10^{-5}\\ \mathrm{F}.

Passo 6

Converter o resultado para \mu\mathrm{F} (microfarads).\n\nLembre que 1\\ \mu\mathrm{F}=10^{-6}\\ \mathrm{F}. Portanto,\n 2\times 10^{-5}\\ \mathrm{F} = \frac{2\times 10^{-5}}{10^{-6}}\\ \mu\mathrm{F}=20\\ \mu\mathrm{F}.\n\nInterpretação rápida: a capacitância necessária é \,20\\ \mu\mathrm{F}. Isso significa que, carregando esse capacitor até \,4000\\ \mathrm{V}, ele armazena os 160\\ \mathrm{J} necessários para a criança. Observação: o desfibrilador informado pode armazenar até 360\\ \mathrm{J}, então a energia requerida de 160\\ \mathrm{J} está abaixo do máximo disponível.

Resposta

20\\ \mu\mathrm{F}

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