\rightarrow Questão 3 (25 pontos): Uma viga simplesmente apoiada com seção transversal quadrada 5 \mathrm{~mm} \times 5 \mathrm{~mm} e comprimento 1 m , sustenta 2,3 \mathrm{~kg} no seu ponto médio, onde produz uma deformação de 1,09 \mathrm{~cm}. Determine a rigidez equivalente dessa viga e o módulo de elasticidade. Observe atentamente as condições de contorno da viga e a correspondente constante de rigidez equivalente.

Passo 1

O enunciado dá uma viga simplesmente apoiada de comprimento L=1{,}00\\ \mathrm m e seção quadrada de lado a=5{,}00\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm m. No ponto médio aplica-se uma carga de massa m=2{,}30\\ \mathrm{kg}, que produz deflexão \delta=1{,}09\\ \mathrm{cm}=0{,}0109\\ \mathrm m. Precisamos achar a rigidez equivalente k e o módulo de elasticidade E, usando a fórmula da deflexão central para carga pontual em vão simplesmente apoiada.

Passo 2

Calcular a força aplicada
P = m\,g = 2{,}30\cdot 9{,}81 = 22{,}563\\ \mathrm N.

Passo 3

A rigidez equivalente da viga é
k = \frac{P}{\delta} = \frac{22{,}563}{0{,}0109}\approx 2069\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

Calcular o momento de inércia da seção quadrada em relação ao eixo neutro
I = \frac{a^4}{12} = \frac{(0{,}005)^4}{12} = 5{,}2083\times10^{-11}\\ \mathrm{m^4}.

Passo 5

Usar a fórmula da deflexão central
\delta = \frac{P\,L^3}{48\,E\,I} \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{P\,L^3}{48\,I\,\delta} = \frac{22{,}563\cdot1^3}{48\cdot5{,}2083\times10^{-11}\cdot0{,}0109} \approx 8{,}28\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

Rigidez equivalente: k\approx2{,}07\times10^{3}\\ \mathrm{N/m}
Módulo de elasticidade: E\approx8{,}28\times10^{11}\\ \mathrm{Pa}

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