1 ^{\text {a }} Questão - Um par de forças atua saindo da origem do plano XY. A força F1 de módulo 100 kN está localizada no 1^{\circ} quadrante, com uma inclinação de 20^{\circ} em relaçăo ao eixo X, enquanto que a força F 2 de módulo igual a 50 kN , também localizada no 1^{\circ} quadrante, possui uma inclinação de 70^{\circ} em relação ao eixo Y. Pede-se determinar o valor da força resultante, bem como sua direção. ( 1,5 pontos)

Passo 1

O enunciado descreve duas forças saindo da origem no plano XY: \mathbf{F}_1 de 100 kN com inclinação de 20^\circ em relação ao eixo X, e \mathbf{F}_2 de 50 kN com inclinação de 70^\circ em relação ao eixo Y. Queremos somá-las vetorialmente para achar a resultante \mathbf{R}, isto é, decompor cada força em componentes cartesianas, somar essas componentes e depois obter o módulo e a direção de \mathbf{R}.

Passo 2

Decompondo \mathbf{F}_1 num sistema XY, o ângulo de 20^\circ é medido desde o eixo X, então:
F_{1x} = F_1 \cos(20^\circ), \qquad F_{1y} = F_1 \sin(20^\circ).

Passo 3

Para \mathbf{F}_2 o ângulo de 70^\circ é medido a partir do eixo Y. Quando o ângulo está em relação ao eixo Y, a componente vertical usa cosseno e a horizontal usa seno:
F_{2x} = F_2 \sin(70^\circ), \qquad F_{2y} = F_2 \cos(70^\circ).

Passo 4

Somamos as componentes para obter \mathbf{R}=\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2:
R_x = F_{1x} + F_{2x} = 100\cos(20^\circ) + 50\sin(70^\circ),
R_y = F_{1y} + F_{2y} = 100\sin(20^\circ) + 50\cos(70^\circ).
Observando que \sin(70^\circ)=\cos(20^\circ) e \cos(70^\circ)=\sin(20^\circ), fica
R_x = 150\cos(20^\circ), \qquad R_y = 150\sin(20^\circ).

Passo 5

Agora calculamos módulo e direção:
R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{\bigl(150\cos(20^\circ)\bigr)^2 + \bigl(150\sin(20^\circ)\bigr)^2} = 150\text{ kN},
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{R_y}{R_x}\bigr) = \arctan\!\bigl(\tan(20^\circ)\bigr) = 20^\circ.

Resposta

A força resultante tem módulo 150 kN e direção de 20^\circ em relação ao eixo X.

Exercícios relacionados