Em rio de pequeno porte, uma quantidade correspondente à
de um contaminante é lançada em uma determinada seção (
). Determine a extensão da contaminação no rio após 3 h , 6 h e 9 h do lançamento, bem como as posições de concentração máxima e os seus valores correspondentes, considerando: (a) contaminante conservativo e (b) contaminante não conservativo com
dia. Considere que o rio se comporta, aproximadamente, como um reator de fluxo combinado. Adote
e
. Faça o gráfico das concentrações ao longo do rio para cada instante de tempo mencionado anteriormente e compare os resultados obtidos nas letras (a) e (b).
Passo 1
Então, o problema diz que a gente jogou de uma vez só 500 g/m² de contaminante em x=0 num rio pequeno, e pede para achar “até onde” ele se espalhou depois de 3 h, 6 h e 9 h, e também onde fica o pico de concentração e qual é esse pico, nos dois casos: (a) sem reação (conservativo, k=0) e (b) com reação de ordem 1, k=0,5 dia⁻¹. A matéria é a Equação de Advecção–Dispersão unidimensional para pulso instantâneo, cuja solução é gaussiana. Vamos precisar de:
• U (velocidade média) = 0,2 m/s
• D (coef. de dispersão) = 0,8 m²/s
• M = massa total injetada por seção (aqui 500 g por m², assumimos 1 m² de seção, logo M=500 g)
• Fórmula da concentração C(x,t) para pulso
• U (velocidade média) = 0,2 m/s
• D (coef. de dispersão) = 0,8 m²/s
• M = massa total injetada por seção (aqui 500 g por m², assumimos 1 m² de seção, logo M=500 g)
• Fórmula da concentração C(x,t) para pulso
Passo 2
A solução geral para pulso instantâneo, sem reação, é:
Esse é um “pacote” gaussiano que se desloca com centro em
e tem largura que cresce como
.
Passo 3
- Posição do pico (extensão principal): o máximo de C ocorre quando o expoente é zero, ou seja em
- Valor do pico sem reação (C_max,0): basta colocar
na fórmula:
Passo 4
Vamos calcular em cada tempo (usando t em segundos):
t₁=3 h=3·3600=10800 s
t₂=6 h=21600 s
t₃=9 h=32400 s
t₁=3 h=3·3600=10800 s
t₂=6 h=21600 s
t₃=9 h=32400 s
Para cada t,
x_{\max}=0{,}2·t (em metros)
C_{\max,0}=\frac{500}{2\sqrt{\pi·0{,}8·t}}\quad(unidade: g/m³ se tomarmos 1 m² de seção)
x_{\max}=0{,}2·t (em metros)
C_{\max,0}=\frac{500}{2\sqrt{\pi·0{,}8·t}}\quad(unidade: g/m³ se tomarmos 1 m² de seção)
Fazendo as contas:
t=10800 s → x=0{,}2·10800=2160 m,
C_{\max,0}=500/(2·√(π·0,8·10800))≈1,52
t=10800 s → x=0{,}2·10800=2160 m,
C_{\max,0}=500/(2·√(π·0,8·10800))≈1,52
t=21600 s → x=0{,}2·21600=4320 m,
C_{\max,0}=500/(2·√(π·0,8·21600))≈1,07
C_{\max,0}=500/(2·√(π·0,8·21600))≈1,07
t=32400 s → x=0{,}2·32400=6480 m,
C_{\max,0}=500/(2·√(π·0,8·32400))≈0,88
C_{\max,0}=500/(2·√(π·0,8·32400))≈0,88
Passo 5
Agora o caso não conservativo (reação de primeira ordem, k=0,5 dia⁻¹). Para incluir a reação, multiplica-se por
, lembrando de usar t em dias:
t₁=3 h=0,125 dia; t₂=0,25 dia; t₃=0,375 dia.
Então:
t₁=3 h=0,125 dia; t₂=0,25 dia; t₃=0,375 dia.
Então:
Calculando:
t=0,125 d → fator= =0,939 → C₁≈1,52·0,939=1,43
t=0,25 d → fator= e^{-0,125}=0,882 → C₂≈1,07·0,882=0,94
t=0,375 d → fator= e^{-0,1875}=0,829 → C₃≈0,88·0,829=0,73
t=0,125 d → fator=
t=0,25 d → fator= e^{-0,125}=0,882 → C₂≈1,07·0,882=0,94
t=0,375 d → fator= e^{-0,1875}=0,829 → C₃≈0,88·0,829=0,73
Passo 6
Sobre o “comprimento” efetivo da mancha: o gaussiano tem desvio padrão
, então uma largura típica
.
Para t=3 h: L≈4·√(2·0,8·10800)≈526 m
t=6 h: L≈4·√(2·0,8·21600)≈743 m
t=9 h: L≈4·√(2·0,8·32400)≈911 m
Para t=3 h: L≈4·√(2·0,8·10800)≈526 m
t=6 h: L≈4·√(2·0,8·21600)≈743 m
t=9 h: L≈4·√(2·0,8·32400)≈911 m
Graficamente você desenharia, para cada t, uma curva em x centrada em x_max e com pico C_max, mostrando que no caso com reação o pico cai e a curva “é parecida” mas sempre menor.
Resposta
– Para t=3 h (10800 s):
• x_max=2160 m
• C_max,conservativo≈1,52 (g/m³)
• C_max,não-conservativo≈1,43 (g/m³)
• Largura típica≈526 m
• x_max=2160 m
• C_max,conservativo≈1,52 (g/m³)
• C_max,não-conservativo≈1,43 (g/m³)
• Largura típica≈526 m
– Para t=6 h (21600 s):
• x_max=4320 m
• C_max,conservativo≈1,07 (g/m³)
• C_max,não-conservativo≈0,94 (g/m³)
• Largura típica≈743 m
• x_max=4320 m
• C_max,conservativo≈1,07 (g/m³)
• C_max,não-conservativo≈0,94 (g/m³)
• Largura típica≈743 m
– Para t=9 h (32400 s):
• x_max=6480 m
• C_max,conservativo≈0,88 (g/m³)
• C_max,não-conservativo≈0,73 (g/m³)
• Largura típica≈911 m
• x_max=6480 m
• C_max,conservativo≈0,88 (g/m³)
• C_max,não-conservativo≈0,73 (g/m³)
• Largura típica≈911 m