Um barco libera uma grande quantidade de contaminante conservativo ( mp= 5000 g / m^2 ) no centro de um canal que não está escoando. Se o coeficiente de difusão é aproximadamente igual a 10^5 m^2 / dia, qual a extensão da contaminação no canal e quais os valores de concentração máxima, após 1 dia e 2 dias do derrame?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: um barco solta instantaneamente uma quantidade de contaminante conservativo com densidade de massa superficial bem no meio de um canal que não está fluindo. O coeficiente de difusão é .
Conteúdo da matéria: equação de difusão unidimensional e sua solução fundamental (pluma gaussiana). Vamos usar a forma padrão da solução para uma liberação instantânea (delta) e extrair a concentração máxima e a “extensão” do contágio após 1 e 2 dias.

Passo 2

Teoria e fórmula
A equação de difusão unidimensional para concentração partial Cpartial t ;=; D,partial^2 Cpartial x^2 é
C(x,t) ;=; mpraiz4pi,D,t;exp!l(-x^24,D,tr)
Para uma liberação instantânea de massa por área Cmax(t)=C(0,t)=mpraiz4pi,D,t no ponto sigma(t)=raiz2,D,t , a solução é
Dessa forma, a concentração máxima ocorre em :
Quanto à “extensão” da contaminação, usamos como parâmetro o desvio-padrão da gaussiana, que mede o raio característico do plume:

Passo 3

Calcular a concentração máxima
  • Para Cmax(1)=5000raiz4pi,(10^5),(1) = 5000raiz4pitimes10^5 approx 4,46;g/m^2 dia: Cmax(2)=5000raiz4pi,(10^5),(2) = 5000raiz8pitimes10^5 approx 3,15;g/m^2
  • Para dias:

Passo 4

Calcular a extensão (desvio‐padrão)
  • Para sigma(1)=raiz2times10^5times1approx 447,2;m dia: sigma(2)=raiz2times10^5times2approx 632,5;m
  • Para dias:

Resposta

Extensão da contaminação (raio característico, σ):
  • Após 1 dia: 447,2 m
  • Após 2 dias: 632,5 m
Concentração máxima :
  • Após 1 dia: 4,46 g/m²
  • Após 2 dias: 3,15 g/m²

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