Um barco libera uma grande quantidade de contaminante conservativo (
) no centro de um canal que não está escoando. Se o coeficiente de difusão é aproximadamente igual a
, qual a extensão da contaminação no canal e quais os valores de concentração máxima, após 1 dia e 2 dias do derrame?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: um barco solta instantaneamente uma quantidade de contaminante conservativo com densidade de massa superficial
bem no meio de um canal que não está fluindo. O coeficiente de difusão é
.
Conteúdo da matéria: equação de difusão unidimensional e sua solução fundamental (pluma gaussiana). Vamos usar a forma padrão da solução para uma liberação instantânea (delta) e extrair a concentração máxima e a “extensão” do contágio após 1 e 2 dias.
Conteúdo da matéria: equação de difusão unidimensional e sua solução fundamental (pluma gaussiana). Vamos usar a forma padrão da solução para uma liberação instantânea (delta) e extrair a concentração máxima e a “extensão” do contágio após 1 e 2 dias.
Passo 2
Teoria e fórmula
A equação de difusão unidimensional para concentração é
A equação de difusão unidimensional para concentração
Para uma liberação instantânea de massa por área
no ponto
, a solução é
Dessa forma, a concentração máxima ocorre em
:
Quanto à “extensão” da contaminação, usamos como parâmetro o desvio-padrão
da gaussiana, que mede o raio característico do plume:
Passo 3
Calcular a concentração máxima
- Para
dia: - Para
dias:
Passo 4
Calcular a extensão (desvio‐padrão)
- Para
dia: - Para
dias:
Resposta
Extensão da contaminação (raio característico, σ):
- Após 1 dia: 447,2 m
- Após 2 dias: 632,5 m
Concentração máxima
:
- Após 1 dia: 4,46 g/m²
- Após 2 dias: 3,15 g/m²