Os rolamentos rígidos de esferas de um redutor são montados num eixo de 20 mm de diâmetro que gira a 800 rpm . Sabe-se que estes rolamentos precisarão ter vida útil de 16000 h , compatível com o desempenho esperado do equipamento. Considerando que a força radial aplicada em cada um dos rolamentos é de 800 N , e que a força axial é desprezível (considerada inexistente), determine:
a) A capacidade de carga dinâmica que os rolamentos precisam suportar.
b) No catálogo do fabricante, o rolamento que deve ser utilizado no projeto.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) Calcular a capacidade de carga dinâmica que os rolamentos precisam suportar.
b) Escolher, no catálogo do fabricante, o rolamento que deve ser utilizado no projeto.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • diâmetro do eixo: \,20\\ \mathrm{mm}\, (usado para escolher rolamento de diâmetro interno compatível, não entra na fórmula de vida diretamente);
  • velocidade de rotação: \,n=800\\ \mathrm{rpm}\,;
  • vida útil desejada: \,16000\\ \mathrm{h}\,;
  • força radial aplicada em cada rolamento: \,P=800\\ \mathrm{N}\,;
  • força axial desprezível (portanto tratamos como carregamento radial puro).
Não há catálogo do fabricante fornecido no enunciado. A resolução matemática deve ser feita com os dados acima; a escolha do item do catálogo exige o próprio catálogo (ver Passo 7).

Passo 2

Explicando a teoria essencial (a fórmula da vida nominal L10 para rolamentos):
A vida nominal L10 de um rolamento, em milhões de revoluções, está relacionada à capacidade de carga dinâmica básica \,C\, e à carga equivalente atuante \,P\, por:
L_{10} \;=\; \left(\dfrac{C}{P}\right)^{p}
onde:
  • \,L_{10}\, é a vida nominal em milhões de revoluções (i.e., número de milhões de rotações que o rolamento suporta com probabilidade de sobrevivência de 90%);
  • \,C\, é a capacidade de carga dinâmica básica do rolamento (em N) — é o que queremos encontrar;
  • \,P\, é a carga equivalente dinâmica aplicada ao rolamento (em N). No nosso caso, com carga axial desprezível e só carga radial, \,P=800\\ \mathrm{N}\,;
  • \,p\, é o expoente que depende do tipo de rolamento: para rolamento rígido de esferas (deep-groove ball bearing) tem-se \,p=3.
Observação prática: nesta fórmula \,L_{10}\, é em milhões de rotações. Se quisermos trabalhar em horas e rpm, primeiro calculamos o número total de rotações e depois convertemos para milhões de rotações (ver Passo 3).

Passo 3

Calcular o número total de revoluções correspondentes à vida desejada em horas. A relação entre horas, rpm e revoluções é:
\text{revoluções} = n\\ (\text{rpm}) \times 60\\ (\text{min/h}) \times \text{horas}çõ
Substituindo n=800\\ \mathrm{rpm} e \text{horas}=16000\\ \mathrm{h}:
\text{revoluções} = 800 \times 60 \times 16000.çõ
Vamos calcular passo a passo:
60 \times 16000 = 960000,
800 \times 960000 = 768000000\\ \text{revoluções}.çõ

Passo 4

Converter o número de revoluções para milhões de revoluções (para usar na fórmula L_{10}):
L_{10} \;=\; \dfrac{768000000}{10^{6}} \;=\; 768\\ \text{(milhões de revoluções)}.õçõ
Portanto, precisamos que o rolamento tenha vida nominal de \,L_{10}=768 (em milhões de revoluções).

Passo 5

Isolar \,C\, na fórmula da vida para calcular a capacidade de carga dinâmica exigida:
L_{10} \;=\; \left(\dfrac{C}{P}\right)^{p} \quad\Longrightarrow\quad \dfrac{C}{P} \;=\; L_{10}^{1/p} \quad\Longrightarrow\quad C \;=\; P\; L_{10}^{1/p}.
Aqui p=3 (rolamento de esferas), P=800\\ \mathrm{N} e L_{10}=768. Substituindo:
C \;=\; 800 \times 768^{1/3}.

Passo 6

Calcular \,768^{1/3} (a raiz cúbica de \,768\,) com procedimento numérico simples e mostrar o raciocínio para que você consiga fazer algo parecido na prova sem calculadora (estimativa por aproximação):
  • sabemos que 9^3=729 e 10^3=1000. Como 768 está entre 729 e 1000, a raiz cúbica fica entre 9 e 10.
  • testar 9{,}15^3: 9{,}15^2 = 83{,}7225,\quad 83{,}7225\times 9{,}15 \approx 766{,}4.
  • testar 9{,}16^3: 9{,}16^2 = 83{,}8656,\quad 83{,}8656\times 9{,}16 \approx 768{,}3.
Portanto a raiz cúbica de 768 é aproximadamente 9{,}16. Agora computamos C:
C \approx 800 \times 9{,}16 = 7328\\ \mathrm{N}.
Podemos arredondar para dois algarismos significativos práticos e dizer C \approx 7{,}33\times 10^{3}\\ \mathrm{N} ou simplesmente C \approx 7328\\ \mathrm{N}. Para maior simplicidade, apresento C \approx 7324\\ \mathrm{N} (valor obtido com arredondamento fino da raiz cúbica), sendo a ordem de grandeza correta \sim 7{,}3\\ \mathrm{kN}.
Interpretação: isto significa que, para que um rolamento com carga radial constante de \,800\\ \mathrm{N} tenha vida útil de \,16000\\ \mathrm{h} a 800 rpm, sua capacidade dinâmica básica deve ser aproximadamente \,7{,}3\\ \mathrm{kN} ou maior.

Passo 7

Escolha do rolamento no catálogo (explicitação do que é necessário e limitação):
Não posso indicar um número de peça específico do catálogo porque o enunciado não trouxe o catálogo do fabricante nem uma tabela com os valores de \,C\, dos modelos disponíveis. Para escolher o rolamento correto você precisa, no catálogo do fabricante, procurar por rolamentos com as seguintes características mínimas:
  • diâmetro interno compatível com o eixo: \,20\\ \mathrm{mm}\, (procure rolamentos com bore/diâmetro interno \,20\\ \mathrm{mm}\,);
  • capacidade de carga dinâmica básica \,C maior ou igual ao valor calculado no Passo 6, ou seja \,C \ge 7328\\ \mathrm{N} (recomendável escolher um modelo com \,C um pouco acima para margem de segurança);
  • tipo apropriado para carga radial e sem quase nenhuma axial: rolamento rígido de esferas (single-row deep-groove ball bearing) é a escolha evidente;
  • verifique também a velocidade limite do rolamento no catálogo (mas a 800 rpm praticamente qualquer rolamento padrão serve);
  • eventualmente aplique fatores de serviço (se houver choques, vibração, temperaturas altas, maior confiabilidade desejada) e corrija a carga exigida; por exemplo, para confiabilidade maior que 90% ou com fator de carga, pode ser necessário escolher um \,C ainda maior.
Procedimento prático no catálogo:
  1. Filtre rolamentos com bore de \,20\\ \mathrm{mm}.
  2. Entre esses, veja a coluna \,C (capacidade de carga dinâmica básica) e escolha o primeiro modelo cujo valor satisfaça \,C \ge 7328\\ \mathrm{N}.
  3. Verifique dimensões externas, tipo de vedação, tolerâncias, e preço.
Se você quiser, me envie uma página do catálogo (ou o nome/fabricante e referência de catálogo) e eu escolho exatamente o número de peça que atende aos critérios.

Resposta

a) C \approx 7328\\ \mathrm{N} (aprox. 7{,}3\\ \mathrm{kN}).
b) Não é possível indicar um número de peça específico sem o catálogo do fabricante; escolha no catálogo um rolamento de diâmetro interno 20\\ \mathrm{mm} do tipo rígido de esferas cuja capacidade de carga dinâmica C satisfaça C \ge 7328\\ \mathrm{N}.

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