A rotação da barra AO, sobre o ponto O, é definido pela relação \theta=\pi\left(4 t^{2}-8 t\right) [rad]. Ao mesmo tempo colar B desliza na barra tendo que a distância r é dada pela equação r=10+ 6 \operatorname{sen} \theta t[\mathrm{~m}]. Para \mathrm{t}=1 \mathrm{~s} determine (a) a velocidade do colar, (b) a aceleração do colar e (c) a aceleração do colar em relação à barra.
\mathbf{v}=\frac{d \mathbf{r}}{d t} \quad \mathbf{a}=\frac{d \mathbf{v}}{d t} \quad \mathbf{a}=a_{t} \mathbf{u}_{t}+a_{n} \mathbf{u}_{n} \quad a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho} \quad \rho=\frac{\left[1+(d y / d x)^{2}\right]^{3 / 2}}{\left|d^{2} y^{/} / d x^{2}\right|} \quad \mathbf{v}=v_{r} \mathbf{u}_{r}+v_{\theta} \mathbf{u}_{\theta}
\begin{array}{ll} v_{r}=\dot{r} & a_{r}=\dot{r}-r \dot{\theta}^{2} \\\ v_{\theta}=r \dot{\theta} & a_{\theta}=r \ddot{\theta}+2 \dot{r} \dot{\theta} \quad \mathbf{a}=a_{r} \mathbf{u}_{r}+a_{\theta} \mathbf{u}_{\theta} \quad a d s=v d v \quad a_{t} d s=v d v \end{array}

Passo 1

O problema dá a posição do colar em coordenadas polares, com origem em O:
– a coordenada angular
\theta(t)=\pi\bigl(4t^{2}-8t\bigr)\quad[\mathrm{rad}],
– a coordenada radial
r(t)=10+6\,t\,\sin\!\bigl(\theta(t)\bigr)\quad[\mathrm{m}].
Pede (a) a velocidade do colar \mathbf v, (b) a aceleração do colar \mathbf a no referencial inercial e (c) a aceleração do colar em relação à barra.
Para isso usaremos as fórmulas em polares:
v_{r}=\dot r,\quad v_{\theta}=r\,\dot\theta,\quad a_{r}=\ddot r - r\,\dot\theta^{2},\quad a_{\theta}=r\,\ddot\theta+2\,\dot r\,\dot\theta,
e \mathbf v=v_{r}\,\mathbf u_{r}+v_{\theta}\,\mathbf u_{\theta},
\mathbf a=a_{r}\,\mathbf u_{r}+a_{\theta}\,\mathbf u_{\theta}.

Passo 2

Calcular \dot\theta e \ddot\theta.
\theta(t)=\pi(4t^{2}-8t)\;\Longrightarrow\; \dot\theta=8\pi\,(t-1),\quad \ddot\theta=8\pi.
Em t=1:
\theta(1)=\pi(4-8)=-4\pi,\quad \dot\theta(1)=8\pi(1-1)=0,\quad \ddot\theta(1)=8\pi.

Passo 3

Calcular r, \dot r e \ddot r.
r(t)=10+6\,t\,\sin\theta(t).
Derivando:
\dot r =6\sin\theta+6t\cos\theta\,\dot\theta,
\ddot r =6\cos\theta\,\dot\theta +6\bigl[\cos\theta\,\dot\theta +t\bigl(-\sin\theta\,\dot\theta^{2}+\cos\theta\,\ddot\theta\bigr)\bigr].
Em t=1, como \sin(-4\pi)=0, \cos(-4\pi)=1 e \dot\theta(1)=0:
r(1)=10+6\cdot1\cdot0=10\;,\quad \dot r(1)=6\cdot0+6\cdot1\cdot1\cdot0=0,
\ddot r(1) =6\cdot1\cdot0 +6\bigl[1\cdot0+1\cdot(0+1\cdot8\pi)\bigr] =48\pi\;\bigl[\mathrm{m/s^{2}}\bigr].

Passo 4

Velocidade do colar no referencial inercial:
v_{r}=\dot r(1)=0,\quad v_{\theta}=r(1)\,\dot\theta(1)=10\cdot0=0.
Logo
\mathbf v =0\;\mathbf u_{r}+0\;\mathbf u_{\theta} =\mathbf0.

Passo 5

Aceleração do colar no referencial inercial:
a_{r}=\ddot r(1)-r(1)\,\dot\theta(1)^{2} =48\pi-10\cdot0=48\pi,
a_{\theta}=r(1)\,\ddot\theta(1)+2\,\dot r(1)\,\dot\theta(1) =10\cdot8\pi+2\cdot0\cdot0=80\pi.
Portanto
\mathbf a =48\pi\;\mathbf u_{r}+80\pi\;\mathbf u_{\theta},
e seu módulo
\lvert\mathbf a\rvert =\sqrt{(48\pi)^{2}+(80\pi)^{2}} =\pi\sqrt{48^{2}+80^{2}}\approx293{,}1\;\mathrm{m/s^{2}}.

Passo 6

Aceleração do colar em relação à barra (apenas a parte radial, pois no referencial que gira com a barra a componente tangencial de deslizamento é nula):
a_{\mathrm{rel}} =\ddot r(1)=48\pi\;\mathrm{m/s^{2}},
medida ao longo da barra em \mathbf u_{r}.

Resposta

(a) \mathbf v=\mathbf0.
(b) \displaystyle \mathbf a=48\pi\,\mathbf u_{r}+80\pi\,\mathbf u_{\theta}, com \lvert\mathbf a\rvert\approx293{,}1\;\mathrm{m/s^{2}}.
(c) A aceleração relativa à barra é \displaystyle a_{\mathrm{rel}}=48\pi\;\mathrm{m/s^{2}} ao longo de \mathbf u_{r}.

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