A rotação da barra AO, sobre o ponto O, é definido pela relação \theta=\pi\left(4 t^{2}-8 t\right) [rad]. Ao mesmo tempo colar B desliza na barra tendo que a distância r é dada pela equação r=10+6 \operatorname{sen} \theta t[\mathrm{~m}]. Para \mathrm{t}=1 \mathrm{~s} determine (a) a velocidade do colar, (b) a aceleração do colar e (c) a aceleração do colar em relação à barra.
\mathbf{v}=\frac{d \mathbf{r}}{d t} \quad \mathbf{a}=\frac{d \mathbf{v}}{d t} \quad \mathbf{a}=a_{t} \mathbf{u}_{t}+a_{n} \mathbf{u}_{n} \quad a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho} \quad \rho=\frac{\left[1+(d y / d x)^{2}\right]^{3 / 2}}{\left|d^{2} y^{/} / d x^{2}\right|} \quad \mathbf{v}=v_{r} \mathbf{u}_{r}+v_{\theta} \mathbf{u}_{\theta}
\begin{array}{ll} v_{r}=\dot{r} & a_{r}=\dot{r}-r \dot{\theta}^{2} \\\ v_{\theta}=r \dot{\theta} & a_{\theta}=r \ddot{\theta}+2 \dot{r} \dot{\theta} \quad \mathbf{a}=a_{r} \mathbf{u}_{r}+a_{\theta} \mathbf{u}_{\theta} \quad a d s=v d v \quad a_{t} d s=v d v \end{array}
Passo 1
O problema dá a posição do colar em coordenadas polares, com origem em O:
– a coordenada angular
Pede (a) a velocidade do colar \mathbf v, (b) a aceleração do colar \mathbf a no referencial inercial e (c) a aceleração do colar em relação à barra.
Para isso usaremos as fórmulas em polares:
v_{r}=\dot r,\quad v_{\theta}=r\,\dot\theta,\quad a_{r}=\ddot r - r\,\dot\theta^{2},\quad a_{\theta}=r\,\ddot\theta+2\,\dot r\,\dot\theta,
e \mathbf v=v_{r}\,\mathbf u_{r}+v_{\theta}\,\mathbf u_{\theta}, \mathbf a=a_{r}\,\mathbf u_{r}+a_{\theta}\,\mathbf u_{\theta}.
Aceleração do colar em relação à barra (apenas a parte radial, pois no referencial que gira com a barra a componente tangencial de deslizamento é nula):
(a) \mathbf v=\mathbf0.
(b) \displaystyle \mathbf a=48\pi\,\mathbf u_{r}+80\pi\,\mathbf u_{\theta}, com \lvert\mathbf a\rvert\approx293{,}1\;\mathrm{m/s^{2}}.
(c) A aceleração relativa à barra é \displaystyle a_{\mathrm{rel}}=48\pi\;\mathrm{m/s^{2}} ao longo de \mathbf u_{r}.