S(A, B, C, D)=\sum(0,2,3,4,6,8,10,13)
A expressão minimizada através do mapa de Karnaugh é:
◯ a. A^{\prime} D^{\prime}+B^{\prime} D^{\prime}+A^{\prime} B^{\prime} C+A B C^{\prime} D
◯ b. A^{\prime} D^{\prime}+B^{\prime} D^{\prime}+A^{\prime} B^{\prime} C
◯ c. B^{\prime} D^{\prime}+A^{\prime} B^{\prime} C+A B C^{\prime} D

Passo 1

O enunciado dá a função S(A,B,C,D)=\sum(0,2,3,4,6,8,10,13) e pede a expressão minimizada (entre as alternativas a, b, c). Informações fornecidas:
  • Lista de minterms: \;0,\;2,\;3,\;4,\;6,\;8,\;10,\;13.
  • Cada minterm corresponde a um vetor binário (A,B,C,D) com A mais significativo e D menos significativo.
O que o problema pede:
  • Encontrar, por minimização (mapa de Karnaugh), a expressão simplificada e escolher a alternativa correta entre:
    • a. A' D' + B' D' + A' B' C + A B C' D
    • b. A' D' + B' D' + A' B' C
    • c. B' D' + A' B' C + A B C' D

Passo 2

Converter cada minterm para a forma binária (A,B,C,D) — isso é necessário para posicioná-los no mapa:
  • \;0 = 0000 \Rightarrow (A,B,C,D)=(0,0,0,0).
  • \;2 = 0010 \Rightarrow (0,0,1,0).
  • \;3 = 0011 \Rightarrow (0,0,1,1).
  • \;4 = 0100 \Rightarrow (0,1,0,0).
  • \;6 = 0110 \Rightarrow (0,1,1,0).
  • \;8 = 1000 \Rightarrow (1,0,0,0).
  • \;10 = 1010 \Rightarrow (1,0,1,0).
  • \;13 = 1101 \Rightarrow (1,1,0,1).
Explicação rápida (didática) sobre por que fazemos isso:
  • No mapa de Karnaugh para 4 variáveis usamos linhas para (A,B) e colunas para (C,D) em código Gray para que células adjacentes diferem em apenas uma variável. Assim conseguimos agrupar potências de dois (1,2,4,8…) de células 1 para eliminar variáveis e obter termos simplificados.

Passo 3

Montar o mapa 4x4 (linhas em ordem Gray (A,B)=00,01,11,10; colunas (C,D)=00,01,11,10) e preencher 1 nas células dos minterms (vou indicar a posição como o número do minterm):
Mapa (cada célula = minterm):
  • Linha AB=00: colunas CD=00,01,11,10 contêm minterms \;0,\;1,\;3,\;2. Dos nossos, marcamos 1 em \;0 e \;3 e \;2.
  • Linha AB=01: colunas 00,01,11,10 são \;4,\;5,\;7,\;6. Marcamos 1 em \;4 e \;6.
  • Linha AB=11: colunas 00,01,11,10 são \;12,\;13,\;15,\;14. Marcamos 1 em \;13.
  • Linha AB=10: colunas 00,01,11,10 são \;8,\;9,\;11,\;10. Marcamos 1 em \;8 e \;10.
Resumo das células com 1 (retirado dos binários que calculei):
  • Minterms com D=0: \;0,2,4,6,8,10 (todos têm D=0).
  • Minterms com D=1: \;3,13.

Passo 4

Procurar grupos grandes (potências de dois) para eliminar o máximo de variáveis:
  • Observação: há seis 1’s em colunas onde D=0 (as colunas CD=00 e CD=10). Podemos formar dois grupos de 4 sobre essas colunas que cobrem todas essas 6 células com sobreposição inteligente:
    • Grupo 1 (4 células): linhas AB=00 e AB=01, colunas D=0 ( CD=00 e CD=10). Esse bloco cobre minterms \{0,2,4,6\}.
    • Grupo 2 (4 células): linhas AB=00 e AB=10, colunas D=0 ( CD=00 e CD=10). Esse bloco cobre minterms \{0,2,8,10\}.
Explicação didática de como extrair o termo de cada grupo:
  • Para qualquer grupo, mantemos as variáveis que não mudam dentro das células do bloco.
  • Grupo 1: linhas AB=00 e 01 têm A=0 em ambas (pois diferem só em B), e colunas CD consideradas têm D=0 em ambas (pois usamos as duas colunas com D=0, que diferem em C). Portanto as variáveis constantes são A=0 e D=0. O termo correspondente é A' D'.
    • Raciocínio passo a passo: A=0 -> A'. D=0 -> D'. Variáveis B e C mudam dentro do bloco, logo são eliminadas.
  • Grupo 2: linhas AB=00 e 10 têm B=0 em ambas (pois 00 e 10 diferem só em A), e novamente D=0 nas colunas. Então as variáveis constantes são B=0 e D=0, gerando o termo B' D'.
Esses dois termos já cobrem todos os minterms com D=0: \{0,2,4,6,8,10\}.

Passo 5

Cobrir os minterms restantes com grupos menores:
  • Minterm \;3 ( 0011) não foi ainda coberto pelos blocos com D=0 (porque tem D=1). Observe que \;3 é adjacente a \;2 (0010) — são células que diferem apenas em D. Como \;2 já é 1, podemos formar o par \{2,3\} (tamanho 2).
    • Para o par \{2,3\}: ambos têm A=0 e B=0 e C=1 (diferença é só em D), então o termo é A' B' C.
    • Isso cobre o minterm \;3 (e também \;2, que já estava coberto; isso é permitido: sobreposição é boa).

Passo 6

Verificar o minterm \;13 ( 1101):
  • A célula \;13 não é adjacente a nenhuma outra 1 que permita formar um par maior (os vizinhos com um bit diferente são minterms 12, 15, 9, 5 — todos são 0). Logo \;13 é um implicante essencial isolado e precisa ser coberto por um termo que replica exatamente sua combinação de variáveis.
  • Para \;13 = (A,B,C,D)=(1,1,0,1): o termo produto direto é A B C' D (pois C=0\Rightarrow C', D=1\Rightarrow D sem apostrofo).
  • Assim precisamos incluir A B C' D para cobrir \;13.

Passo 7

Juntar todos os termos obtidos e verificar cobertura completa:
  • Termos obtidos: A' D', B' D', A' B' C, A B C' D.
  • Cobertura checada:
    • A' D' cobre \{0,2,4,6\}.
    • B' D' cobre \{0,2,8,10\}.
    • A' B' C cobre \{2,3\}.
    • A B C' D cobre \{13\}.
  • União cobre exatamente \{0,2,3,4,6,8,10,13\} — todos os minterms do enunciado estão cobertos, sem incluir minterms extras (cada implicante só cobre células que são 1 no mapa).

Passo 8

Comparar com as alternativas dadas:
  • A expressão encontrada é A' D' + B' D' + A' B' C + A B C' D.
  • Isso coincide exatamente com a alternativa (a).

Resposta

(a)

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