A expressão minimizada através do mapa de Karnaugh é:
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a expressão minimizada (entre as alternativas a, b, c). Informações fornecidas:
- Lista de minterms:
- Cada minterm corresponde a um vetor binário
com mais significativo e menos significativo.
O que o problema pede:
- Encontrar, por minimização (mapa de Karnaugh), a expressão simplificada e escolher a alternativa correta entre:
- a.
- b.
- c.
- a.
Passo 2
Converter cada minterm para a forma binária
— isso é necessário para posicioná-los no mapa:
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
. -
.
Explicação rápida (didática) sobre por que fazemos isso:
- No mapa de Karnaugh para 4 variáveis usamos linhas para
e colunas para em código Gray para que células adjacentes diferem em apenas uma variável. Assim conseguimos agrupar potências de dois (1,2,4,8…) de células 1 para eliminar variáveis e obter termos simplificados.
Passo 3
Montar o mapa 4x4 (linhas em ordem Gray
; colunas
) e preencher 1 nas células dos minterms (vou indicar a posição como o número do minterm):
Mapa (cada célula = minterm):
- Linha
: colunas contêm minterms . Dos nossos, marcamos 1 em e e . - Linha
: colunas são . Marcamos 1 em e . - Linha
: colunas são . Marcamos 1 em . - Linha
: colunas são . Marcamos 1 em e .
Resumo das células com 1 (retirado dos binários que calculei):
- Minterms com
: (todos têm ). - Minterms com
: .
Passo 4
Procurar grupos grandes (potências de dois) para eliminar o máximo de variáveis:
- Observação: há seis 1’s em colunas onde
(as colunas e ). Podemos formar dois grupos de 4 sobre essas colunas que cobrem todas essas 6 células com sobreposição inteligente: - Grupo 1 (4 células): linhas
e , colunas ( e ). Esse bloco cobre minterms . - Grupo 2 (4 células): linhas
e , colunas ( e ). Esse bloco cobre minterms .
- Grupo 1 (4 células): linhas
Explicação didática de como extrair o termo de cada grupo:
- Para qualquer grupo, mantemos as variáveis que não mudam dentro das células do bloco.
- Grupo 1: linhas
e têm em ambas (pois diferem só em ), e colunas consideradas têm em ambas (pois usamos as duas colunas com , que diferem em ). Portanto as variáveis constantes são e . O termo correspondente é . - Raciocínio passo a passo:
-> . -> . Variáveis e mudam dentro do bloco, logo são eliminadas.
- Raciocínio passo a passo:
- Grupo 2: linhas
e têm em ambas (pois 00 e 10 diferem só em ), e novamente nas colunas. Então as variáveis constantes são e , gerando o termo .
Esses dois termos já cobrem todos os minterms com
:
.
Passo 5
Cobrir os minterms restantes com grupos menores:
- Minterm
( ) não foi ainda coberto pelos blocos com (porque tem ). Observe que é adjacente a (0010) — são células que diferem apenas em . Como já é 1, podemos formar o par (tamanho 2). - Para o par
: ambos têm e e (diferença é só em ), então o termo é . - Isso cobre o minterm
(e também , que já estava coberto; isso é permitido: sobreposição é boa).
- Para o par
Passo 6
Verificar o minterm
(
):
- A célula
não é adjacente a nenhuma outra 1 que permita formar um par maior (os vizinhos com um bit diferente são minterms 12, 15, 9, 5 — todos são 0). Logo é um implicante essencial isolado e precisa ser coberto por um termo que replica exatamente sua combinação de variáveis. - Para
: o termo produto direto é (pois , sem apostrofo). - Assim precisamos incluir
para cobrir .
Passo 7
Juntar todos os termos obtidos e verificar cobertura completa:
- Termos obtidos:
, , , . - Cobertura checada:
-
cobre . -
cobre . -
cobre . -
cobre .
-
- União cobre exatamente
— todos os minterms do enunciado estão cobertos, sem incluir minterms extras (cada implicante só cobre células que são 1 no mapa).
Passo 8
Comparar com as alternativas dadas:
- A expressão encontrada é
. - Isso coincide exatamente com a alternativa (a).
Resposta
(a)