Dada a tabela Verdade abaixo, as expressões booleanas em soma de produtos que representam as saídas são:
\mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{C i} \mathbf{S} \mathbf{C o}
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
◯ a. \quad \mathbf{S}=\mathbf{A} \oplus \mathbf{B} \oplus \mathbf{C i}
\mathbf{C o}=\mathbf{A B}+\mathbf{C i}(\mathbf{A} \oplus \mathbf{B})
◯ b. \quad \mathbf{S}=\mathbf{A} \oplus \mathbf{B}
\mathbf{C o}=\mathbf{A B}+\mathbf{C i}
◯ c. \mathbf{S}=\mathbf{A} \oplus \mathbf{B}
\mathbf{C o}=\mathbf{A B}+\mathbf{C i}(\mathbf{A} \oplus \mathbf{B})
◯ d. \mathbf{S}=\mathbf{A} \oplus \mathbf{B} \oplus \mathbf{C i}
\mathbf{C o}=\mathbf{A B}

Passo 1

O enunciado dá uma tabela verdade com três entradas A, B e C_i e duas saídas S e C_o. As linhas da tabela (na ordem apresentada) correspondem aos vetores de entrada (A,B,C_i):
  • (0,0,0) S=0,\;C_o=0
  • (0,0,1) S=1,\;C_o=0
  • (0,1,0) S=1,\;C_o=0
  • (0,1,1) S=0,\;C_o=1
  • (1,0,0) S=1,\;C_o=0
  • (1,0,1) S=0,\;C_o=1
  • (1,1,0) S=0,\;C_o=1
  • (1,1,1) S=1,\;C_o=1
O que o enunciado pede é escolher, entre as alternativas dadas, qual par de expressões booleanas (para S e C_o) corresponde a essa tabela verdade. As informações relevantes (os valores 0/1 das saídas para cada combinação de entradas) estão listadas acima.

Passo 2

Estratégia de resolução (passo-a-passo didático):
  • Vou construir as expressões em soma de produtos (SOP) a partir dos minterms (cada linha com saída 1 gera um produto de literais).
  • Depois vou simplificar essas somas de produtos usando fatoração e identidades booleanas, e reconhecer formas conhecidas como XOR.
    Explicando o método de minterms: quando uma linha tem A=a,\;B=b,\;C_i=c e a saída vale 1, o minterm correspondente é
(\text{se }a=1\text{ use }A,\\ \text{se }a=0\text{ use }\overline{A})\cdot (\text{se }b=1\text{ use }B,\\ \text{se }b=0\text{ use }\overline{B})\cdot (\text{se }c=1\text{ use }C_i,\\ \text{se }c=0\text{ use }\overline{C_i}).
A soma (OR) de todos os minterms cujas linhas têm saída 1 é a expressão SOP exata.

Passo 3

Identifico as linhas em que S=1. São as combinações (A,B,C_i):
(0,0,1),\\ (0,1,0),\\ (1,0,0),\\ (1,1,1).
Escrevendo os minterms (usando \overline{\cdot} para negação):
\begin{aligned} m_1 &= \overline{A}\,\overline{B}\,C_i,\\\ m_2 &= \overline{A}\,B\,\overline{C_i},\\\ m_4 &= A\,\overline{B}\,\overline{C_i},\\\ m_7 &= A\,B\,C_i. \end{aligned}
Portanto a soma de produtos inicial é
S = \overline{A}\,\overline{B}\,C_i \;+\; \overline{A}\,B\,\overline{C_i} \;+\; A\,\overline{B}\,\overline{C_i} \;+\; A\,B\,C_i.
Agora vamos simplificar de forma didática. Agrupo termos por fator comum em C_i ou \overline{C_i}:
\begin{aligned} S &= C_i\big(\overline{A}\,\overline{B} + A\,B\big) \;+\; \overline{C_i}\big(\overline{A}\,B + A\,\overline{B}\big). \end{aligned}
Explique as identidades usadas:
  • \overline{A}\,B + A\,\overline{B} é exatamente a definição do operador XOR entre A e B: A\oplus B.
  • \overline{A}\,\overline{B} + A\,B é o complemento de A\oplus B, ou seja \overline{(A\oplus B)} (porque estas duas cobrem os casos em que A e B são iguais).
    Substituindo:
S = C_i\,\overline{(A\oplus B)} \;+\; \overline{C_i}\,(A\oplus B).
Agora uso a identidade (para quaisquer bits X e Y):
X\,\overline{Y} + \overline{X}\,Y = X \oplus Y.
Aplicando com X = A\oplus B e Y = C_i, obtemos
S = (A\oplus B)\oplus C_i.
Como \oplus é associativo e comutativo, isso equivale a
S = A \oplus B \oplus C_i.
Comentário amigável: essa é a soma (mod 2) das três entradas — típica da saída soma de um somador completo.

Passo 4

Identifico as linhas em que C_o=1: (0,1,1),\\ (1,0,1),\\ (1,1,0),\\ (1,1,1).
Escrevendo os minterms:
\begin{aligned} m_3 &= \overline{A}\,B\,C_i,\\\ m_5 &= A\,\overline{B}\,C_i,\\\ m_6 &= A\,B\,\overline{C_i},\\\ m_7 &= A\,B\,C_i. \end{aligned}
Logo a expressão SOP é
C_o = \overline{A}\,B\,C_i \;+\; A\,\overline{B}\,C_i \;+\; A\,B\,\overline{C_i} \;+\; A\,B\,C_i.
Simplifico agrupando os dois primeiros (que têm fator C_i) e os dois últimos (que têm fator A B):
\begin{aligned} C_o &= C_i\big(\overline{A}\,B + A\,\overline{B}\big) \;+\; A B\big(\overline{C_i} + C_i\big). \end{aligned}
Observe que \overline{C_i}+C_i = 1. E \overline{A}\,B + A\,\overline{B} = A\oplus B. Portanto
C_o = C_i\,(A\oplus B) \;+\; A B.
Reescrevendo numa forma comum:
C_o = A B \;+\; C_i\,(A\oplus B).
Comentário: essa é a forma canônica do carry-out de um somador completo — dá carry quando pelo menos duas das entradas são 1 (AB=1) ou quando C_i é 1 e exatamente uma entre A e B é 1.

Passo 5

As expressões que encontrei são
S = A \oplus B \oplus C_i, \qquad C_o = A B + C_i\,(A\oplus B).
Agora olho as alternativas dadas: a alternativa (a) apresenta exatamente essas duas expressões. As outras alternativas diferem em pelo menos uma das duas fórmulas. Logo a alternativa correta é a (a).

Resposta

a. \;S = A \oplus B \oplus C_i,\quad C_o = A B + C_i\,(A \oplus B)

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