S Seja um anel metálico construído com um fio muito fino. O material tem coeficiente de dilatação linear α e sofre uma variação de temperatura ΔT. Qual a razão entre o comprimento da circunferência após o aquecimento e o comprimento inicial?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um anel metálico feito de um fio muito fino. Esse material possui um coeficiente de dilatação linear representado por $ \alpha $ e sofre uma variação de temperatura de $ \Delta T $. Precisamos descobrir qual é a razão entre o comprimento da circunferência após o aquecimento e o comprimento inicial.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de dilatação térmica linear, que nos ajuda a calcular como o comprimento de um material muda com a variação de temperatura.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da dilatação linear, que é:
Onde:
- $ \Delta L $ é a variação no comprimento,
- $ \alpha $ é o coeficiente de dilatação linear,
- $ L $ é o comprimento inicial,
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Passo 3
No caso do anel metálico, o comprimento inicial $ L $ é igual ao comprimento da circunferência, que é dado por:
onde $ r $ é o raio do anel.
Passo 4
Após o aquecimento, o novo comprimento $ L’ $ da circunferência será:
Substituindo a fórmula da dilatação linear:
Passo 5
Podemos fatorar o $ L $ da expressão:
Passo 6
Agora, queremos encontrar a razão entre o comprimento após o aquecimento $ L’ $ e o comprimento inicial $ L $. Essa razão é:
Resposta
A razão entre o comprimento da circunferência após o aquecimento e o comprimento inicial é: