4.3) Sabe-se que a adsorção de um determinado corante em solução aquosa, pela diatomita, segue a isoterma:
\mathrm{x} / \mathrm{M}=0,02 \mathrm{C}^{1 / 3}
\mathrm{R}: 2,8 \times 10^{-5} \mathrm{~mol} . \mathrm{L}^{-1}
sendo C expresso em molaridade e x/M em mol. \mathrm{kg}^{-1}. Verificou-se que 1 litro da solução de corante, quando posto em contato com 10 g de diatomita, tem sua concentração diminuída em 20 \%. Qual a concentração inicial do corante?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá (cada dado vem do enunciado):
  • A isoterma experimental é \dfrac{x}{M}=0,02\,C^{1/3}.
    • Aqui \dfrac{x}{M} está em \mathrm{mol\cdot kg^{-1}} (mols adsorvidos por kg de adsorvente).
    • C está em \mathrm{mol\cdot L^{-1}} (molaridade) e nesta isoterma C é a concentração no equilíbrio (após contato com o adsorvente).
  • Foi verificado que 1 litro da solução, ao ser posto em contato com 10\\ \mathrm{g} de diatomita, tem sua concentração diminuída em 20\%.
  • Conversão de massa do adsorvente: 10\\ \mathrm{g}=0,01\\ \mathrm{kg}.
  • O enunciado mostra uma indicação de resultado: R:\\\ 2,8\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
  • O que se pede: determinar a concentração inicial do corante (ou seja, C_0, em \mathrm{mol\cdot L^{-1}}).

Passo 2

Definir variáveis e escrever o balanço de massa (passo fundamental e muito usado em problemas de adsorção).
  • Seja C_0 a concentração inicial em \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
  • Depois do contato a concentração cai 20\%, então a concentração no equilíbrio (final) é
C_f = 0,8\,C_0.
  • Como o volume da solução é 1\\ \mathrm{L}, os mols iniciais na solução valem \,C_0\cdot1 = C_0 (em mols) e os mols finais valem C_f\cdot1=C_f.
  • Os mols removidos da solução (adsorvidos pela diatomita) são
\Delta n = C_0 - C_f = 0,2\,C_0.
  • Por definição \dfrac{x}{M} é a quantidade adsorvida por quilograma de diatomita (em \mathrm{mol\cdot kg^{-1}}). Logo os mols adsorvidos pela massa m de diatomita são
\text{mols adsorvidos}=\left(\dfrac{x}{M}\right)\cdot m.
  • Igualando mols removidos da solução com mols adsorvidos pela diatomita (conservação de massa):
0,2\,C_0 = \left(\dfrac{x}{M}\right)\cdot m.
  • Pela isoterma dada, com C sendo a concentração no equilíbrio (aqui C_f),
\dfrac{x}{M}=0,02\,C_f^{1/3}=0,02\,(0,8\,C_0)^{1/3}.
  • Substituindo na equação de balanço obtemos a equação que determina C_0.

Passo 3

Montar explicitamente a equação e simplificar os coeficientes numéricos.
  • Substituindo \dfrac{x}{M} e m=0,01\\ \mathrm{kg} no balanço:
0,2\,C_0 = 0,02\,(0,8\,C_0)^{1/3}\cdot 0,01.
  • Calcular o produto dos coeficientes numéricos 0,02\cdot0,01:
0,02\cdot0,01 = 0,0002.
  • Assim a equação fica
0,2\,C_0 = 0,0002\,(0,8\,C_0)^{1/3}.

Passo 4

Isolar e resolver a equação envolvendo potência fracionária.
  • Dividindo ambos os lados por 0,0002:
\frac{0,2}{0,0002}\,C_0 = (0,8\,C_0)^{1/3}.
  • Calcular o quociente numérico:
\frac{0,2}{0,0002}=1000,
logo
1000\,C_0 = (0,8\,C_0)^{1/3}.
  • Para eliminar o expoente 1/3, elevamos ambos os lados ao cubo:
(1000\,C_0)^3 = 0,8\,C_0.
  • Desenvolvendo o lado esquerdo: 1000^3=10^9, então
10^{9}\,C_0^{3} = 0,8\,C_0.
  • Como C_0>0, podemos dividir por C_0:
10^{9}\,C_0^{2} = 0,8.
  • Isolando C_0^2:
C_0^{2} = \dfrac{0,8}{10^{9}} = 8\times10^{-10}.
  • Tirando a raiz quadrada:
C_0 = \sqrt{8\times10^{-10}} = \sqrt{8}\times10^{-5}.
  • Avaliando numericamente: \sqrt{8}=2\sqrt{2}\approx 2,828427, então
C_0 \approx 2,828427\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
  • Arredondando de forma coerente com o enunciado:
C_0 \approx 2,8\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.

Passo 5

Verificação rápida de consistência (checar se os números fazem sentido).
  • Concentração final: C_f=0,8\,C_0\approx 0,8\cdot2,828\times10^{-5}\approx 2,263\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
  • Mols removidos: 0,2\,C_0\approx 5,657\times10^{-6}\\ \mathrm{mol}.
  • Pela isoterma, \dfrac{x}{M}=0,02\,C_f^{1/3}. Calculando aproximadamente isso dá \dfrac{x}{M}\approx 5,657\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\cdot kg^{-1}}. Multiplicando por m=0,01\\ \mathrm{kg} resulta em 5,657\times10^{-6}\\ \mathrm{mol}, que coincide com os mols removidos. Portanto a solução é consistente.

Resposta

2,8\times10^{-5}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}

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