1. (a) A decomposição na fase gasosa de \mathrm{SO}_{2} \mathrm{Cl}_{2}, \mathrm{SO}_{2} \mathrm{Cl}_{2(\mathrm{~g})} \rightarrow \mathrm{SO}_{2(\mathrm{~g})}+\mathrm{Cl}_{2(\mathrm{~g})}, é de primeira ordem \mathrm{SO}_{2} \mathrm{Cl}_{2}. A 600 K a meia-vida para esse processo é 2,3 \times 10^{5} \mathrm{~s}. Qual é a constante de velocidade a essa temperatura? (b) A 320^{\circ} \mathrm{C} a constante de velocidade é 2,2 \times 10^{-5} \mathrm{~s}^{-1}. Qual é a meia-vida a essa temperatura?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Reação (dados do enunciado): \mathrm{SO}_{2}\mathrm{Cl}_{2(\mathrm{g})} \rightarrow \mathrm{SO}_{2(\mathrm{g})} + \mathrm{Cl}_{2(\mathrm{g})}.
  • Informação importante: a decomposição é de primeira ordem em \mathrm{SO}_{2}\mathrm{Cl}_{2}.
Dados e perguntas:
  • (a) A 600\\ \mathrm{K} a meia-vida é t_{1/2}=2{,}3\times10^{5}\\ \mathrm{s}. Pergunta: qual é a constante de velocidade k a essa temperatura?
  • (b) A 320^{\circ}\mathrm{C} a constante de velocidade é k=2{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{s}^{-1}. Pergunta: qual é a meia-vida t_{1/2} a essa temperatura?

Passo 2

Agora a teoria que precisamos (explicada passo a passo, sem pular etapas).
Para uma reação de primeira ordem a lei de velocidade diferencial é
-\frac{d[A]}{dt} = k[A],
onde:
  • [A] é a concentração do reagente (aqui \mathrm{SO}_2\mathrm{Cl}_2), em unidades como \mathrm{mol\;L^{-1}};
  • t é o tempo (em \mathrm{s});
  • k é a constante de velocidade da reação (em \mathrm{s}^{-1} para primeira ordem);
  • o sinal menos aparece porque [A] diminui com o tempo.
Para obter uma expressão útil integrámos a equação separando variáveis:
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
Integrando ambos os lados desde t=0 com [A]=[A]_0 até tempo t com [A]=[A]_t, obtemos
\ln\!\left(\frac{[A]_t}{[A]_0}\right) = -k t.
A meia-vida t_{1/2} é o tempo em que [A]_t = \tfrac{1}{2}[A]_0. Substituindo:
\ln\!\left(\frac{1}{2}\right) = -k t_{1/2}.
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2, isolamos t_{1/2}:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Esta é a fórmula-chave: para primeira ordem, a meia-vida independe da concentração inicial e vale \,t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}\,.
Observações sobre unidades e valores:
  • \ln 2 \approx 0{,}693147.
  • Se k está em \mathrm{s}^{-1}, então t_{1/2} sai em segundos.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao item (a). Queremos k sabendo t_{1/2}. Da fórmula
k=\frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Substituindo t_{1/2}=2{,}3\times10^{5}\\ \mathrm{s} e \ln 2\approx0{,}693147:
k=\frac{0{,}693147}{2{,}3\times10^{5}\\ \mathrm{s}}.
Faço o cálculo em duas etapas (para conseguir fazer sem calculadora mentalmente):
  • Dividir 0{,}693147 por 2{,}3 dá aproximadamente 0{,}3014 (porque 0{,}693/2{,}3\approx0{,}301).
  • Como dividimos também por 10^{5}, multiplicamos por 10^{-5}.
Portanto
k\approx 0{,}3014\times10^{-5}\\ \mathrm{s}^{-1}=3{,}014\times10^{-6}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Arredondando com o número de algarismos significativos coerente com os dados ( t_{1/2}=2{,}3\times10^{5} tem duas algarismos significativos), fica conveniente dar k com duas figuras significativas:
k \approx 3{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao item (b). Agora conhecemos k e queremos t_{1/2}. Use
t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}.
Substituindo k=2{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{s}^{-1}:
t_{1/2}=\frac{0{,}693147}{2{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{s}^{-1}}.
Cálculo em etapas:
  • 0{,}693147/2{,}2 \approx 0{,}31597.
  • Multiplicando por 10^{5} (porque dividimos por 10^{-5}) obtemos t_{1/2}\approx3{,}1597\times10^{4}\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente (k tinha duas figuras significativas), tomo
t_{1/2}\approx3{,}2\times10^{4}\\ \mathrm{s}.
Para ter intuição converto para horas:
\text{horas}=\frac{3{,}16\times10^{4}\\ \mathrm{s}}{3600\\ \mathrm{s/h}}\approx8{,}8\\ \mathrm{h}.
Em minutos isso dá aproximadamente 8\\ \mathrm{h}\\\ 47\\ \mathrm{min} (porque 0{,}8\\ \mathrm{h}\times60\approx48\\ \mathrm{min}). (Essas conversões são só para interpretação; a pergunta pedia a meia-vida.)

Passo 5

Resumo rápido e checagem: usei a fórmula exata para primeira ordem t_{1/2}=\ln2/k, re-arranjei conforme necessário e calculei com atenção às unidades. Os arredondamentos foram feitos para manter coerência com os algarismos significativos dos dados. Força aí — esse tipo de conta cai muito em prova e, com essa fórmula decorada e sabendo manipular potência de 10, é bem direto!

Resposta

(a) k \approx 3{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{s}^{-1}
(b) t_{1/2} \approx 3{,}2\times10^{4}\\ \mathrm{s}\\ (\approx 8{,}8\\ \mathrm{h})

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