Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora observam-ses 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos. Determine:
a) Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, num tempo arbitrário t.
b) O número de núcleos inicialmente existentes na cultura.

Passo 1

O enunciado diz que o número de núcleos N(t) cresce à taxa proporcional à quantidade presente. Temos duas observações: \,N(1)=1000 e N(4)=3000.
O conteúdo é modelagem de crescimento exponencial. Vamos precisar da forma geral da solução de
\frac{dN}{dt}=k\,N
e depois usar as condições dadas para achar k e o valor inicial N(0).

Passo 2

A equação diferencial
\frac{dN}{dt}=k\,N
tem solução geral
N(t)=N_{0}\,e^{k t},
onde N_{0}=N(0) e k é a constante de crescimento.

Passo 3

Usando as condições observadas, escrevemos
N(1)=N_{0}e^{k}=1000,
N(4)=N_{0}e^{4k}=3000.
Fazendo a razão das duas igualdades:
\frac{N(4)}{N(1)}=\frac{3000}{1000}=3 \quad\Longrightarrow\quad e^{4k}/e^{k}=e^{3k}=3 \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1}{3}\ln 3.

Passo 4

Para achar N_{0}, usamos N(1)=1000:
1000=N_{0}e^{k} \quad\Longrightarrow\quad N_{0}=1000\,e^{-k} =1000\,e^{-\frac{1}{3}\ln3} =1000\cdot3^{-\frac{1}{3}}.

Passo 5

Substituindo k e N_{0} na solução geral, obtemos
N(t) =1000\cdot3^{-\frac{1}{3}} \exp\!\Bigl(\frac{\ln3}{3}\,t\Bigr).
Uma forma mais enxuta é notar que
3^{-\frac{1}{3}}e^{\frac{\ln3}{3}t} =3^{\frac{t-1}{3}},
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N(t)=1000\,3^{\frac{t-1}{3}}.

Resposta

a) \displaystyle N(t)=1000\,3^{\frac{t-1}{3}}.
b) N(0)=N_{0}=1000\cdot3^{-\tfrac{1}{3}}\approx693{,}4.

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