Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora observam-ses 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos. Determine:
a) Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, num tempo arbitrário t.
b) O número de núcleos inicialmente existentes na cultura.
a) Uma expressão para o número de núcleos presentes na cultura, num tempo arbitrário t.
b) O número de núcleos inicialmente existentes na cultura.
Passo 1
O enunciado diz que o número de núcleos
cresce à taxa proporcional à quantidade presente. Temos duas observações:
e
.
O conteúdo é modelagem de crescimento exponencial. Vamos precisar da forma geral da solução de
O conteúdo é modelagem de crescimento exponencial. Vamos precisar da forma geral da solução de
e depois usar as condições dadas para achar
e o valor inicial
.
Passo 2
A equação diferencial
tem solução geral
onde
e
é a constante de crescimento.
Passo 3
Usando as condições observadas, escrevemos
Fazendo a razão das duas igualdades:
Passo 4
Para achar
, usamos
:
Passo 5
Substituindo
e
na solução geral, obtemos
Uma forma mais enxuta é notar que
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Resposta
a)
b)
b)