Parte A
Encontre a solução geral das Equações abaixo:
(b) \frac{d y}{d x}=e^{x+y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = e^{x+y}.
Este é um caso clássico de EDO separável: podemos escrever os termos em y de um lado e em x do outro para depois integrar.

Passo 2

Reescrevendo e^{x+y}=e^x\,e^y e separando as variáveis, temos
\frac{dy}{dx} = e^x\,e^y \quad\Longrightarrow\quad e^{-y}\,dy = e^{x}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int e^{-y}\,dy = \int e^{x}\,dx.
O lado esquerdo resulta em -e^{-y} e o direito em e^x + C, onde C é constante de integração.

Passo 4

Portanto
-\,e^{-y} = e^x + C.
Multiplicando por -1 e renomeando a constante C_1=-C, fica
e^{-y} = C_1 - e^x.

Passo 5

Para isolar y, tomamos logaritmo:
-\,y = \ln\bigl(C_1 - e^x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = -\ln\bigl(C_1 - e^x\bigr).
Renomeando C_1 novamente para uma constante arbitrária C, obtemos a forma final.

Resposta

y(x) = -\ln\bigl(C - e^x\bigr),
onde C é constante arbitrária.

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