Sabe-se que o número necessário de homens-hora para distribuir insumos entre x por cento dos fazendeiros de uma zona rural é dado pela função f(x)=\frac{600 x}{300-x}.
(a) Quantos homens-hora são necessários para atingir os primeiros 50 por cento dos moradores ?
(b) E para os 50 por cento restantes ?
(c) Qual a porcentagem de fazendeiros que recebe insumos quando são utilizados 150 homens-hora ?
(d) Qual o domínio, no contexto do problema, para o qual f(x) tem interpretação prática?

Passo 1

O enunciado fornece a função f(x) = \frac{600x}{300 - x}, em que x é a porcentagem de fazendeiros atendidos e f(x) o total de homens-hora. Precisamos calcular em (a) f(50), em (b) o acréscimo de homens-hora para ir de 50\% a 100\%, em (c) resolver \frac{600x}{300 - x} = 150 para x, e em (d) determinar o domínio prático de f.

Passo 2

Para a parte (a), substituímos x = 50 em f(x):
f(50) = \frac{600 \cdot 50}{300 - 50} = \frac{30000}{250} = 120.

Passo 3

Para a parte (b), calculamos primeiro o total até 100\% e subtraímos o valor para 50\%:
f(100) = \frac{600 \cdot 100}{300 - 100} = \frac{60000}{200} = 300,
logo o esforço adicional é
f(100) - f(50) = 300 - 120 = 180.

Passo 4

Para a parte (c), resolvemos
\frac{600x}{300 - x} = 150.
Multiplicando ambos os lados por 300 - x e isolando x, temos
150(300 - x) = 600x \implies 45000 - 150x = 600x \implies 45000 = 750x \implies x = 60.

Passo 5

Para a parte (d), o denominador 300 - x não pode ser zero, logo x \neq 300. Como x representa porcentagem de fazendeiros, deve satisfazer 0 \le x \le 100. Portanto, o domínio prático é [0,100].

Resposta

(a) \,120 homens-hora.
(b) \,180 homens-hora.
(c) \,60\%.
(d) O domínio prático é 0 \le x \le 100.

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