Sabe-se que o potencial elétrico no interior do cubo
é dado por
volts. Determine a carga total no interior do cubo.
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico no interior do cubo
como
(volts). A pergunta é: determinar a carga total no interior do cubo (ou seja, a carga elétrica contida no volume definido pelas desigualdades acima).
Informações relevantes dadas:
- A expressão explícita de
em todo o interior do cubo. - O domínio de integração é o cubo
. - Não há outras fontes externas declaradas; devemos usar a relação entre potencial e densidade de carga para achar a carga total.
Passo 2
Vamos lembrar a relação fundamental entre potencial elétrico e densidade volumétrica de carga: a equação de Poisson. Em eletrostática no vácuo vale
onde:
-
é o laplaciano do potencial (soma das segundas derivadas parciais), -
é a densidade de carga volumétrica (em ), -
é a permissividade elétrica do vácuo (constante, não precisamos do seu valor numérico se o laplaciano for nulo).
Da equação acima segue que
A carga total no interior do cubo é
Estratégia prática: calcular
. Se
em todo o cubo então
e
. Caso contrário integrar
no volume.
Passo 3
Calcular
. Vamos tratar termo a termo (cada termo do potencial é função simples de
).
Primeiro identifique os termos que dependem de
:
Segundas derivadas em
:
-
. -
(pois é tratado como constante ao derivar em ). -
.
Portanto
Passo 4
Agora as segundas derivadas em
. Termos com dependência em
:
Segundas derivadas em
(excluindo ainda a parte logarítmica que vamos tratar separadamente):
-
. -
. -
.
Assim, da parte polinomial obtemos
Passo 5
Agora as segundas derivadas em
. Termos com dependência em
:
Segundas derivadas em
(excluindo ainda a parte logarítmica):
-
. -
. -
.
Portanto a contribuição polinomial total ao laplaciano é
Ou seja, todos os termos polinomiais (lineares, bilineares e quadráticos dados) somam laplaciano zero — resta apenas a parte logarítmica para investigar.
Passo 6
Isolamos a parte logarítmica:
Observação útil: completar quadrados em
:
logo
Portanto
Passo 7
Calcular o laplaciano de
. Use a fórmula de derivadas:
e análogo para
. Calcule derivadas de
:
Agora some as segundas derivadas:
Substituindo os valores:
e
Logo
Portanto
Passo 8
Somando tudo: a contribuição polinomial ao laplaciano deu
(Passo 5) e a parte logarítmica também tem laplaciano
(Passo 7). Assim
Pelo que foi exposto no Passo 2, isso implica
Logo a densidade volumétrica de carga é nula em todo o volume considerado.
Passo 9
Concluir a carga total:
Comentário físico rápido (para te animar): o potencial dado é uma função harmônica no interior do cubo (laplaciano nulo), logo não há carga volumétrica no interior — se existir alguma carga, ela só poderia estar sobre a fronteira (superfície), mas a questão pediu a carga no interior do volume, que é zero.