Sabe-se que o potencial elétrico no interior do cubo |\mathrm{x}|,|\mathrm{y}|,|\mathrm{z}| \leq 0,5 é dado por V=80 x- 60 y+45 z+130 y z+50 x z+80\left(x^{2}-y^{2}\right)+ 115+300 \ln \left(y^{2}-4 y+z^{2}+6 z+13\right) \quad volts. Determine a carga total no interior do cubo.

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico no interior do cubo |x|,|y|,|z|\le 0,5 como
V=80 x- 60 y+45 z+130 y z+50 x z+80\left(x^{2}-y^{2}\right)+ 115+300 \ln\left(y^{2}-4 y+z^{2}+6 z+13\right)
(volts). A pergunta é: determinar a carga total no interior do cubo (ou seja, a carga elétrica contida no volume definido pelas desigualdades acima).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão explícita de V(x,y,z) em todo o interior do cubo.
  • O domínio de integração é o cubo \{(x,y,z)\mid |x|\le 0,5,\;|y|\le 0,5,\;|z|\le 0,5\}.
  • Não há outras fontes externas declaradas; devemos usar a relação entre potencial e densidade de carga para achar a carga total.

Passo 2

Vamos lembrar a relação fundamental entre potencial elétrico e densidade volumétrica de carga: a equação de Poisson. Em eletrostática no vácuo vale
\nabla^{2}V = -\frac{\rho}{\varepsilon_{0}},
onde:
  • \nabla^{2}V é o laplaciano do potencial (soma das segundas derivadas parciais),
  • \rho(x,y,z) é a densidade de carga volumétrica (em \mathrm{C/m^{3}}),
  • \varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo (constante, não precisamos do seu valor numérico se o laplaciano for nulo).
Da equação acima segue que
\rho = -\varepsilon_{0}\,\nabla^{2}V.
A carga total no interior do cubo é
Q=\iiint_{\text{cubo}}\rho\,\mathrm{d}V = -\varepsilon_{0}\iiint_{\text{cubo}}\nabla^{2}V\,\mathrm{d}V.
Estratégia prática: calcular \nabla^{2}V. Se \nabla^{2}V=0 em todo o cubo então \rho=0 e Q=0. Caso contrário integrar \nabla^{2}V no volume.

Passo 3

Calcular \nabla^{2}V=\dfrac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2}V}{\partial z^{2}}. Vamos tratar termo a termo (cada termo do potencial é função simples de x,y,z).
Primeiro identifique os termos que dependem de x:
80x,\quad 50xz,\quad 80x^{2}.
Segundas derivadas em x:
  • \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}(80x)=0.
  • \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}(50xz)=\dfrac{\partial}{\partial x}(50z)=0 (pois z é tratado como constante ao derivar em x).
  • \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}(80x^{2})=160.
Portanto
\frac{\partial^{2}V}{\partial x^{2}}=160+\text{(contribuições da parte logarítmica que depende só de \(y,z\))}.çõíó

Passo 4

Agora as segundas derivadas em y. Termos com dependência em y:
-60y,\quad 130yz,\quad -80y^{2},\quad 300\ln(\cdots\\ \text{função de }y,z).çã
Segundas derivadas em y (excluindo ainda a parte logarítmica que vamos tratar separadamente):
  • \dfrac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}(-60y)=0.
  • \dfrac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}(130yz)=\dfrac{\partial}{\partial y}(130z)=0.
  • \dfrac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}(-80y^{2})=-160.
Assim, da parte polinomial obtemos
\frac{\partial^{2}V}{\partial y^{2}}=-160+\text{(contribuição da parte logarítmica)}.çãí

Passo 5

Agora as segundas derivadas em z. Termos com dependência em z:
45z,\quad 50xz,\quad 130yz,\quad 300\ln(\cdots\\ \text{função de }y,z).çã
Segundas derivadas em z (excluindo ainda a parte logarítmica):
  • \dfrac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}(45z)=0.
  • \dfrac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}(50xz)=\dfrac{\partial}{\partial z}(50x)=0.
  • \dfrac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}(130yz)=\dfrac{\partial}{\partial z}(130y)=0.
Portanto a contribuição polinomial total ao laplaciano é
160 + (-160) + 0 = 0.
Ou seja, todos os termos polinomiais (lineares, bilineares e quadráticos dados) somam laplaciano zero — resta apenas a parte logarítmica para investigar.

Passo 6

Isolamos a parte logarítmica:
V_{\log}=300\ln\big(f(y,z)\big),\quad\text{onde}\quad f(y,z)=y^{2}-4y+z^{2}+6z+13.
Observação útil: completar quadrados em f:
y^{2}-4y = (y-2)^{2}-4,\qquad z^{2}+6z=(z+3)^{2}-9,
logo
f(y,z)=(y-2)^{2}+(z+3)^{2}-4-9+13=(y-2)^{2}+(z+3)^{2}.
Portanto
f(y,z)=(y-2)^{2}+(z+3)^{2}.

Passo 7

Calcular o laplaciano de \ln f. Use a fórmula de derivadas:
\frac{\partial}{\partial y}\ln f=\frac{f_{y}}{f},\qquad \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\ln f=\frac{f_{yy}\,f-(f_{y})^{2}}{f^{2}},
e análogo para z. Calcule derivadas de f:
f_{y}=2(y-2),\quad f_{yy}=2,\qquad f_{z}=2(z+3),\quad f_{zz}=2.
Agora some as segundas derivadas:
\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\ln f+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\ln f =\frac{f_{yy}+f_{zz}}{f}-\frac{(f_{y})^{2}+(f_{z})^{2}}{f^{2}}.
Substituindo os valores:
f_{yy}+f_{zz}=2+2=4,
e
(f_{y})^{2}+(f_{z})^{2}=4(y-2)^{2}+4(z+3)^{2}=4\big((y-2)^{2}+(z+3)^{2}\big)=4f.
Logo
\nabla^{2}\big(\ln f\big)=\frac{4}{f}-\frac{4f}{f^{2}}=\frac{4}{f}-\frac{4}{f}=0.
Portanto
\nabla^{2}\big(300\ln f\big)=300\cdot 0=0.

Passo 8

Somando tudo: a contribuição polinomial ao laplaciano deu 0 (Passo 5) e a parte logarítmica também tem laplaciano 0 (Passo 7). Assim
\nabla^{2}V=0\quad\text{em todo o interior do cubo}.
Pelo que foi exposto no Passo 2, isso implica
\rho=-\varepsilon_{0}\nabla^{2}V=0\quad\text{no interior do cubo}.
Logo a densidade volumétrica de carga é nula em todo o volume considerado.

Passo 9

Concluir a carga total:
Q=\iiint_{\text{cubo}}\rho\,\mathrm{d}V=0.
Comentário físico rápido (para te animar): o potencial dado é uma função harmônica no interior do cubo (laplaciano nulo), logo não há carga volumétrica no interior — se existir alguma carga, ela só poderia estar sobre a fronteira (superfície), mas a questão pediu a carga no interior do volume, que é zero.

Resposta

Q=0

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