Um campo potencial eletrostático, no vácuo, é definido por V=1000 \sqrt{r} volts. Qual é a energia armazenada em uma esfera unitária situada na origem?

Passo 1

O enunciado dá a função potencial eletrostático no vácuo
V = 1000 \sqrt{r} = 1000\, r^{1/2},
e pede a energia armazenada numa esfera de raio unitário centrada na origem (ou seja, esfera com r\le 1). Informações relevantes fornecidas:
  • Potencial V(r)=1000\,r^{1/2} volts.
  • Volume a considerar: bola de raio 1 centrada na origem (ou seja, 0\le r\le 1).
  • Estamos no vácuo (use \varepsilon_0 como permissividade do vácuo).
    Não se resolve nada ainda neste passo; apenas listei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Fórmula que relaciona energia elétrica armazenada com o campo elétrico: a energia total U armazenada no campo elétrico em um volume V_{\text{vol}} é dada por
U = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \int_{V_{\text{vol}}} |\mathbf{E}|^2 \, dV.
Explicando as quantidades:
  • \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo (constante).
  • \mathbf{E} é o campo elétrico (vetor) e |\mathbf{E}|^2 é o quadrado da sua magnitude.
  • dV é o elemento de volume (em coordenadas esféricas: dV = 4\pi r^2\,dr quando a integranda depende só de r).
    Essa fórmula vem da energia por unidade de volume (densidade de energia) do campo elétrico, u=\tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2.

Passo 3

Relação entre potencial e campo elétrico: em eletrostática temos
\mathbf{E} = -\nabla V.
Como V depende apenas de r (simetria esférica), o campo é radial e sua magnitude é
E(r) = \left|\frac{dV}{dr}\right|.
Agora calculo a derivada de V(r)=1000\,r^{1/2}. Usando a regra de potência: \dfrac{d}{dr}r^{1/2}=\tfrac{1}{2}r^{-1/2}. Portanto,
\frac{dV}{dr} = 1000\cdot\frac{1}{2}r^{-1/2}=500\,r^{-1/2}.
Como \mathbf{E}=-\dfrac{dV}{dr}\,\hat r, a magnitude é
E(r)=500\,r^{-1/2}.
Observação didática: o sinal menos indica direção (campo apontando para decrescer V), mas para a energia só precisamos de E^2, então usamos a magnitude positiva.

Passo 4

Agora monto a integral da energia na bola de raio 1. Usando dV=4\pi r^2\,dr e a expressão para a densidade \tfrac{1}{2}\varepsilon_0 E^2, temos
U = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \int_{V_{\text{bol}}} E^2\,dV = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \int_{0}^{1} E(r)^2 \cdot 4\pi r^2 \, dr.
Substituo E(r)=500\,r^{-1/2}, então
E(r)^2 = (500)^2 r^{-1} = 250000\,r^{-1}.

Passo 5

Substituindo E^2 no integral:
U = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \int_{0}^{1} 250000\,r^{-1}\cdot 4\pi r^2 \, dr.
Simplifico a constante e as potências de r:
\frac{1}{2}\cdot 250000 \cdot 4\pi = 2\pi \cdot 250000 = 500000\pi,
e r^{-1}\cdot r^2 = r. Então
U = 500000\pi\,\varepsilon_0 \int_{0}^{1} r \, dr.

Passo 6

Calculo a integral simples:
\int_{0}^{1} r\,dr = \left.\frac{r^2}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}.
Logo
U = 500000\pi\,\varepsilon_0 \cdot \frac{1}{2} = 250000\pi\,\varepsilon_0.
Comentário sobre convergência: apesar de E divergir como r^{-1/2} quando r\to 0, o integrando em energia comporta-se como r perto de zero (porque E^2 r^2 \sim r), que é integrável em 0. Portanto a energia é finita.

Passo 7

Podemos apresentar o resultado simbólico e também um valor numérico usando \varepsilon_0\approx 8{,}854187817\times 10^{-12}\\ \text{F/m}. Assim
U = 250000\pi\,\varepsilon_0 \approx 250000\pi \times 8{,}854187817\times 10^{-12}.
Faço a conta aproximada:
250000\times 8{,}854187817\times 10^{-12} \approx 2{,}213546954\times 10^{-6},
U \approx 2{,}213546954\times 10^{-6}\times \pi \approx 6{,}95\times 10^{-6}\\ \text{J}.
Fica então o valor exato em termos de \varepsilon_0 e a aproximação numérica.

Resposta

U = 250000\pi\,\varepsilon_0\\ \text{J}
U \approx 6{,}95\times 10^{-6}\\ \text{J}

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