Um momento de dipolo
localiza-se, no vácuo, no ponto
.
a) Obtenha uma expressão para o potencial
no ponto
, e calcule o potencial no ponto
;
b) Determine
no ponto (5,2,-1).
a) Obtenha uma expressão para o potencial
b) Determine
Passo 1
Dados fornecidos:
(unidades de carga vezes comprimento) localizado em
. O ponto genérico onde queremos o potencial é
. Os pontos específicos pedidos são
.
O enunciado pede:
a) Obter uma expressão para o potencial no ponto
e calcular o potencial em
.
b) Determinar no ponto
.
a) Obter uma expressão para o potencial
b) Determinar
Passo 2
Definições e fórmula que vamos usar (explicadas):
Definimos o vetor posição relativo entre o ponto onde avaliamos e a posição do dipolo por
Definimos o vetor posição relativo entre o ponto onde avaliamos e a posição do dipolo por
onde
é a posição do ponto
e
é a posição do dipolo. Ou seja,
A fórmula padrão para o potencial elétrico criado por um dipolo pontual
num ponto
(no vácuo) é
onde
e
é a permissividade do vácuo. É habitual definir
Explicação física curta: o potencial de um dipolo depende do produto escalar
(projeção do dipolo na direção do ponto de observação) e decai com
efetivamente (a forma
com
dá essa dependência).
Passo 3
Vamos escrever explicitamente
e
.
Temos
O produto escalar é
O quadrado do módulo é
então
Portanto a expressão geral para o potencial é
Passo 4
Agora calculamos o potencial no ponto
.
Primeiro o vetor
naquele ponto:
Calculamos o produto escalar:
Calculamos
e
:
Substituindo na fórmula do potencial:
Se quisermos valor numérico usando
:
Vamos calcular aproximadamente:
Logo, numericamente,
(aproximação com três algarismos significativos; o valor depende da unidade usada para
).
Passo 5
Agora calculamos
em
.
Relação entre campo e potencial:
. Para o potencial de dipolo a forma vetorial conhecida do campo é (mostro a forma e explico rapidamente):
Explicação: essa expressão resulta de calcular as derivadas parciais de
e reescrever o resultado em forma vetorial; ela mostra que o campo tem uma parte radial proporcional a
e uma parte que depende diretamente de
. Aqui
.
Passo 6
Substituímos os números já calculados em
:
temos ,
,
e
.
temos
Calcule o numerador vetorial:
Subtraindo:
Assim
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
O componente
é a primeira componente:
Valor numérico usando
:
Cálculo aproximado:
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