Um momento de dipolo \boldsymbol{p}=2 \hat{a}_{\boldsymbol{x}}+5 \hat{a}_{\boldsymbol{y}}-3 \hat{a}_{\boldsymbol{z}} \eta \mathrm{C} localiza-se, no vácuo, no ponto \mathrm{P}(1,1,1).
a) Obtenha uma expressão para o potencial \mathrm{V}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) no ponto \mathrm{A}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}), e calcule o potencial no ponto (5,2,-1);
b) Determine \mathrm{E}_{\mathrm{x}} no ponto (5,2,-1).

Passo 1

Dados fornecidos:
\boldsymbol{p}=2\hat{a}_{x}+5\hat{a}_{y}-3\hat{a}_{z} (unidades de carga vezes comprimento) localizado em P(1,1,1). O ponto genérico onde queremos o potencial é A(x,y,z). Os pontos específicos pedidos são A(5,2,-1).
O enunciado pede:
a) Obter uma expressão para o potencial \mathrm{V}(x,y,z) no ponto A(x,y,z) e calcular o potencial em A(5,2,-1).
b) Determinar E_x no ponto A(5,2,-1).

Passo 2

Definições e fórmula que vamos usar (explicadas):
Definimos o vetor posição relativo entre o ponto onde avaliamos e a posição do dipolo por
\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}_0,
onde \mathbf{r}=(x,y,z) é a posição do ponto A e \mathbf{r}_0=(1,1,1) é a posição do dipolo. Ou seja,
\mathbf{R}=(x-1)\,\hat{a}_x+(y-1)\,\hat{a}_y+(z-1)\,\hat{a}_z.
A fórmula padrão para o potencial elétrico criado por um dipolo pontual \mathbf{p} num ponto \mathbf{r} (no vácuo) é
V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathbf{p}\cdot\mathbf{R}}{R^3},
onde R=|\mathbf{R}| e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. É habitual definir
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 9\times10^{9}\\ \text{(SI)}.
Explicação física curta: o potencial de um dipolo depende do produto escalar \mathbf{p}\cdot\mathbf{R} (projeção do dipolo na direção do ponto de observação) e decai com R^2 efetivamente (a forma /\!R^3 com \mathbf{p}\cdot\mathbf{R} dá essa dependência).

Passo 3

Vamos escrever explicitamente \mathbf{p}\cdot\mathbf{R} e R^2.
Temos
\mathbf{p}=(2,5,-3),\qquad \mathbf{R}=(x-1,y-1,z-1).
O produto escalar é
\mathbf{p}\cdot\mathbf{R}=2(x-1)+5(y-1)-3(z-1).
O quadrado do módulo é
R^2=(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2,
então
R^3= \big(R^2\big)^{3/2} =\big[(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\big]^{3/2}.
Portanto a expressão geral para o potencial é
V(x,y,z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{2(x-1)+5(y-1)-3(z-1)}{\big[(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\big]^{3/2}}.

Passo 4

Agora calculamos o potencial no ponto (5,2,-1).
Primeiro o vetor \mathbf{R} naquele ponto:
\mathbf{R}=(5-1,\,2-1,\,-1-1)=(4,\,1,\,-2).
Calculamos o produto escalar:
\mathbf{p}\cdot\mathbf{R}=2\cdot4+5\cdot1+(-3)\cdot(-2)=8+5+6=19.
Calculamos R^2 e R^3:
R^2=4^2+1^2+(-2)^2=16+1+4=21,
R^3=21\sqrt{21}.
Substituindo na fórmula do potencial:
V(5,2,-1)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{19}{21\sqrt{21}}.
Se quisermos valor numérico usando k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx 9\times10^{9}:
V(5,2,-1)\approx 9\times10^{9}\cdot\frac{19}{21\sqrt{21}}.
Vamos calcular aproximadamente:
\sqrt{21}\approx 4,5826,\qquad 21\sqrt{21}\approx 96,233,
9\times10^{9}\cdot\frac{19}{96,233}\approx 1,78\times10^{9}.
Logo, numericamente,
V(5,2,-1)\approx 1,78\times10^{9}\\ \text{volts}
(aproximação com três algarismos significativos; o valor depende da unidade usada para \mathbf{p}).

Passo 5

Agora calculamos E_x em (5,2,-1).
Relação entre campo e potencial: \mathbf{E}=-\nabla V. Para o potencial de dipolo a forma vetorial conhecida do campo é (mostro a forma e explico rapidamente):
\mathbf{E}(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{3(\mathbf{p}\cdot\mathbf{R})\mathbf{R}-R^2\mathbf{p}}{R^5}.
Explicação: essa expressão resulta de calcular as derivadas parciais de V(\mathbf{r}) e reescrever o resultado em forma vetorial; ela mostra que o campo tem uma parte radial proporcional a (\mathbf{p}\cdot\mathbf{R})\mathbf{R} e uma parte que depende diretamente de \mathbf{p}. Aqui R^5=(R^2)^{5/2}.

Passo 6

Substituímos os números já calculados em (5,2,-1):
temos \mathbf{R}=(4,1,-2), \mathbf{p}\cdot\mathbf{R}=19, R^2=21 e R^5=21^{5/2}=441\sqrt{21}.
Calcule o numerador vetorial:
3(\mathbf{p}\cdot\mathbf{R})\mathbf{R}=3\cdot19\cdot(4,1,-2)=57\cdot(4,1,-2)=(228,57,-114),
R^2\mathbf{p}=21\cdot(2,5,-3)=(42,105,-63).
Subtraindo:
3(\mathbf{p}\cdot\mathbf{R})\mathbf{R}-R^2\mathbf{p}=(228-42,\;57-105,\;-114-(-63))=(186,\,-48,\,-51).
Assim
\mathbf{E}(5,2,-1)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(186,\,-48,\,-51)}{441\sqrt{21}}.
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 3:
\mathbf{E}(5,2,-1)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{(62,\,-16,\,-17)}{147\sqrt{21}}.
O componente E_x é a primeira componente:
E_x(5,2,-1)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{62}{147\sqrt{21}}.
Valor numérico usando k=9\times10^{9}:
E_x(5,2,-1)\approx 9\times10^{9}\cdot\frac{62}{147\sqrt{21}}.
Cálculo aproximado:
147\sqrt{21}\approx 147\cdot4,5826\approx 673,537,
9\times10^{9}\cdot\frac{62}{673,537}\approx 8,28\times10^{8}.
Logo
E_x(5,2,-1)\approx 8,28\times10^{8}\\ \text{N/C}.

Resposta

V(x,y,z)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{2(x-1)+5(y-1)-3(z-1)}{\big[(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\big]^{3/2}}, \quad V(5,2,-1)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{19}{21\sqrt{21}}\approx 1,78\times10^{9}\\ \text{V}
E_x(5,2,-1)=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\dfrac{62}{147\sqrt{21}}\approx 8,28\times10^{8}\\ \text{N/C}

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