Sabe-se que o tempo médio de recuperação padrão para um determinado tratamento cirúrgico é de 96 horas. Uma equipe médica está investigando os benefícios de um novo tratamento cirúrgico. Tal equipe suspeita que o tempo médio de recuperação de pacientes que fizeram esse novo tratamento cirúrgico seja menor que 96 horas (tempo médio de recuperação do tratamento antigo). Para confirmar ou não suas suspeitas essa equipe selecionou aleatoriamente 20 pacientes que foram tratados por esse novo método cirúrgico e observou um tempo médio de 80 horas com variância de 25 horas ^{2}. Nessas condições, qual seria sua conclusão? utilize o nível de significância de 5%.

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se há evidência, ao nível de significância de 5\%, de que o tempo médio de recuperação com o novo tratamento é menor que o tempo médio antigo de 96 horas. Dados fornecidos:
n=20,\quad \bar{x}=80,\quad s^{2}=25 \text{ (horas}^{2}\text{)}.
Pergunta explícita: devemos aceitar ou rejeitar a hipótese de que a média é 96 horas ao nível \alpha=0{,}05, considerando a suspeita de que a média com o novo tratamento é menor (teste unilateral à esquerda).

Passo 2

Formulamos as hipóteses e justificamos o teste escolhido.
Hipóteses:
H_{0}:\mu=96\qquad\text{vs.}\qquad H_{1}:\mu<96.
Motivação para usar o teste t: o desvio padrão populacional \sigma não é conhecido (temos apenas a variância amostral s^{2}) e a amostra é pequena ( n=20). Nesses casos usa-se o teste t de Student com n-1 graus de liberdade.
Definição do estatístico de teste (explicação didática):
O estatístico t mede quantos erros-padrão a média amostral está afastada da média hipotética. Sua fórmula é
t=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}},
onde \bar{x} é a média amostral, \mu_{0} é a média sob H_{0}, s é o desvio-padrão amostral e n é o tamanho da amostra. O denominador s/\sqrt{n} é chamado erro-padrão da média e representa a variabilidade esperada da média amostral.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão amostral s a partir de s^{2} e o erro-padrão:
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{25}=5.
Calcular \sqrt{n}:
\sqrt{n}=\sqrt{20}\approx 4{,}4721.
Portanto o erro-padrão é
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{5}{\sqrt{20}}\approx\frac{5}{4{,}4721}\approx 1{,}1180.

Passo 4

Calcular o valor observado do estatístico t:
t_{\text{obs}}=\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}}=\frac{80-96}{1{,}1180}=\frac{-16}{1{,}1180}\approx -14{,}32.
Interpretação do sinal: como \bar{x}=80<96, o t é negativo, o que vai na direção de H_{1}.

Passo 5

Determinar a região crítica usando a distribuição t com n-1=19 graus de liberdade e \alpha=0{,}05 (teste unilateral à esquerda).
O valor crítico (tabela de Student) para nível 5\% à direita é aproximadamente t_{0{,}95,19}\approx 1{,}729; como o teste é à esquerda, a região crítica é
t < -1{,}729.
Comparando: t_{\text{obs}}\approx -14{,}32 é muito menor que -1{,}729, portanto fica na região crítica.

Passo 6

Cálculo aproximado do p‑valor e conclusão prática.
O p‑valor é P(T_{19}\le t_{\text{obs}}). Para t_{\text{obs}}\approx -14{,}32 o p‑valor é praticamente zero (muito menor que 0{,}05; numericamente p<0{,}0001). Assim rejeitamos H_{0}.
Interpretação final em linguagem simples: a média amostral de 80 horas é tão distante de 96 horas, em relação à variabilidade observada, que há evidência estatística forte (ao nível de 5\%) de que o novo tratamento reduz o tempo médio de recuperação.

Resposta

Rejeita-se H_{0}. Há evidência significativa ao nível de 5\% de que o tempo médio de recuperação com o novo tratamento é menor que 96 horas.

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