Um laboratório deseja verificar se a dosagem média de uma certa substância no sangue dos pacientes é de
. Sabe-se que, a dosagem dessa substância na população segue uma distribuição normal. Para investigar essa questão, o laboratório coletou uma amostra aleatória de 25 pacientes, obtendo uma média amostral de
e desvio padrão amostral de
. Utilizando um nível de significância de
, qual seria sua conclusão?
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se a dosagem média da substância no sangue da população é de
, usando nível de significância de
. Dados fornecidos:
- tamanho da amostra:
; - média amostral:
; - desvio padrão amostral:
; - suposição adicional: a dosagem na população é normalmente distribuída;
- nível de significância:
.
A pergunta implícita é: com esses dados, devemos rejeitar ou não a hipótese de que a média populacional é?
Passo 2
Qual método usar? Como a variância populacional desconhecida (temos
, não
) e a amostra é relativamente pequena (
), o procedimento apropriado é o teste t de Student para uma média (teste unilateral ou bilateral depende da hipótese alternativa). O enunciado quer saber se a média é
, sem indicar direção, então usamos teste bilateral com hipóteses:
Explicação didática curta: o teste t compara o desvio entre a média amostral e o valor hipotético (
) com a variabilidade esperada da média amostral, que é
. Se essa diferença padronizada for grande em módulo, rejeitamos
.
Passo 3
Fórmula do estatístico de teste e significado das letras:
onde
-
é a média amostral (aqui ), -
é o valor sob (aqui ), -
é o desvio padrão amostral (aqui ), -
é o tamanho da amostra (aqui ), -
segue a distribuição com graus de liberdade sob .
Agora substituímos os números e calculamos passo a passo:
A diferença das médias é
Portanto o estatístico é
Interpretação simples: a média amostral está
desvios-padrão amostrais da média hipotética — isso é enorme.
Passo 4
Definimos a regra de decisão usando a distribuição t com
graus de liberdade. Para teste bilateral com
, a região crítica é
onde
é o quantil de 97,5% da
com 24 graus de liberdade. Consultando tabela ou calculadora:
Comparando:
logo
. Conclusão por essa regra: rejeitamos
.
Didática curta: o valor observado
está muito além do que esperaríamos se
fosse realmente
; por isso pensamos que
não é
.
Passo 5
Cálculo e interpretação do p‑valor. O p‑valor para o teste bilateral é
onde
é a função de distribuição acumulada da
com 24 graus de liberdade. Com
essa probabilidade de cauda é praticamente zero; portanto o p‑valor é praticamente
. Em termos práticos podemos dizer
(escrever um valor numérico exato não muda o julgamento: é muito menor que
). Isso confirma fortemente a rejeição de
.
Passo 6
Conclusão alternativa pelo intervalo de confiança (checagem intuitiva). Um intervalo de confiança de
para
é
Já calculamos
e
, então a margem de erro é
O intervalo é
Ou seja, o intervalo de
é aproximadamente
. Como
não está dentro desse intervalo, isso também indica que
é incompatível com os dados ao nível de
.
Passo 7
Conclusão final (interpretando tudo junto) e tom amigável: com a amostra dada temos evidência muito forte de que a média populacional de dosagem não é
. A diferença é tão grande (média amostral
) que o teste t dá
e p‑valor praticamente zero, levando à rejeição de
ao nível
. Em linguagem prática: os dados indicam que a média é diferente de
— e, pelos números, muito maior.
Resposta
Rejeita‑se
. Como
e
, temos evidência significativa (p‑valor
) de que a média populacional difere de
(a média amostral é
).