Um laboratório deseja verificar se a dosagem média de uma certa substância no sangue dos pacientes é de 50 \mathrm{mg} / \mathrm{l}. Sabe-se que, a dosagem dessa substância na população segue uma distribuição normal. Para investigar essa questão, o laboratório coletou uma amostra aleatória de 25 pacientes, obtendo uma média amostral de 98 \mathrm{mg} / \mathrm{l} e desvio padrão amostral de 20 \mathrm{mg} / \mathrm{l}. Utilizando um nível de significância de 5 \%, qual seria sua conclusão?

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a dosagem média da substância no sangue da população é de 50\\ \mathrm{mg}/\mathrm{l}, usando nível de significância de 5\%. Dados fornecidos:
  • tamanho da amostra: n=25;
  • média amostral: \bar X = 98\\ \mathrm{mg}/\mathrm{l};
  • desvio padrão amostral: S = 20\\ \mathrm{mg}/\mathrm{l};
  • suposição adicional: a dosagem na população é normalmente distribuída;
  • nível de significância: \alpha = 0,05.
    A pergunta implícita é: com esses dados, devemos rejeitar ou não a hipótese de que a média populacional é 50\\ \mathrm{mg}/\mathrm{l}?

Passo 2

Qual método usar? Como a variância populacional desconhecida (temos S, não \sigma) e a amostra é relativamente pequena ( n=25), o procedimento apropriado é o teste t de Student para uma média (teste unilateral ou bilateral depende da hipótese alternativa). O enunciado quer saber se a média é 50, sem indicar direção, então usamos teste bilateral com hipóteses:
H_0: \mu = 50
H_1: \mu \neq 50
Explicação didática curta: o teste t compara o desvio entre a média amostral e o valor hipotético ( 50) com a variabilidade esperada da média amostral, que é S/\sqrt{n}. Se essa diferença padronizada for grande em módulo, rejeitamos H_0.

Passo 3

Fórmula do estatístico de teste e significado das letras:
T = \frac{\bar X - \mu_0}{S/\sqrt{n}}
onde
  • \bar X é a média amostral (aqui \bar X=98),
  • \mu_0 é o valor sob H_0 (aqui \mu_0=50),
  • S é o desvio padrão amostral (aqui S=20),
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=25),
  • T segue a distribuição t com n-1 graus de liberdade sob H_0.
Agora substituímos os números e calculamos passo a passo:
S/\sqrt{n} = \frac{20}{\sqrt{25}} = \frac{20}{5} = 4.
A diferença das médias é
\bar X - \mu_0 = 98 - 50 = 48.
Portanto o estatístico é
T = \frac{48}{4} = 12.
Interpretação simples: a média amostral está 12 desvios-padrão amostrais da média hipotética — isso é enorme.

Passo 4

Definimos a regra de decisão usando a distribuição t com n-1=24 graus de liberdade. Para teste bilateral com \alpha=0,05, a região crítica é
|T| > t_{0,975;\,24},
onde t_{0,975;\,24} é o quantil de 97,5% da t com 24 graus de liberdade. Consultando tabela ou calculadora:
t_{0,975;\,24} \approx 2,064.
Comparando:
|T| = 12 \quad\text{e}\quad t_{0,975;\,24}\approx 2,064,
logo |T| > 2,064. Conclusão por essa regra: rejeitamos H_0.
Didática curta: o valor observado T=12 está muito além do que esperaríamos se \mu fosse realmente 50; por isso pensamos que \mu não é 50.

Passo 5

Cálculo e interpretação do p‑valor. O p‑valor para o teste bilateral é
\text{p‑valor} = 2\bigl(1 - F_{t_{24}}(|T|)\bigr),
onde F_{t_{24}} é a função de distribuição acumulada da t com 24 graus de liberdade. Com T=12 essa probabilidade de cauda é praticamente zero; portanto o p‑valor é praticamente 0. Em termos práticos podemos dizer
\text{p‑valor} \ll 0,001
(escrever um valor numérico exato não muda o julgamento: é muito menor que \alpha=0,05). Isso confirma fortemente a rejeição de H_0.

Passo 6

Conclusão alternativa pelo intervalo de confiança (checagem intuitiva). Um intervalo de confiança de 95\% para \mu é
\bar X \pm t_{0,975;\,24}\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}.
Já calculamos \frac{S}{\sqrt{n}}=4 e t_{0,975;\,24}\approx 2,064, então a margem de erro é
2,064 \times 4 = 8,256.
O intervalo é
98 - 8,256 = 89,744\quad\text{até}\quad98 + 8,256 = 106,256.é
Ou seja, o intervalo de 95\% é aproximadamente (89,744,\;106,256)\\ \mathrm{mg}/\mathrm{l}. Como 50\\ \mathrm{mg}/\mathrm{l} não está dentro desse intervalo, isso também indica que 50 é incompatível com os dados ao nível de 5\%.

Passo 7

Conclusão final (interpretando tudo junto) e tom amigável: com a amostra dada temos evidência muito forte de que a média populacional de dosagem não é 50\\ \mathrm{mg}/\mathrm{l}. A diferença é tão grande (média amostral 98\\ \mathrm{mg}/\mathrm{l}) que o teste t dá T=12 e p‑valor praticamente zero, levando à rejeição de H_0 ao nível \alpha=0,05. Em linguagem prática: os dados indicam que a média é diferente de 50\\ \mathrm{mg}/\mathrm{l} — e, pelos números, muito maior.

Resposta

Rejeita‑se H_0. Como T=12 e t_{0,975;24}\approx 2,064, temos evidência significativa (p‑valor \ll 0,05) de que a média populacional difere de 50\\ \mathrm{mg}/\mathrm{l} (a média amostral é 98\\ \mathrm{mg}/\mathrm{l}).

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