Sabe-se que x+y=\frac{\pi}{4} e \operatorname{sen}(x)=\frac{5}{13}, com 0 \leq x<\leq \frac{\pi}{2}.
Escreva \operatorname{sen}(y) em função de \cos (y).

Passo 1

Resumindo, sabemos que x+y=\tfrac{\pi}{4} e \sin(x)=\tfrac{5}{13} com x no primeiro quadrante. O objetivo é escrever \sin(y) em função de \cos(y). Para isso vamos usar a identidade pitagórica para obter \cos(x) e as fórmulas do seno e cosseno de diferença de ângulos.

Passo 2

Como \sin(x)=\tfrac{5}{13} e x\in[0,\tfrac{\pi}{2}], temos
\cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)} =\sqrt{1-\Bigl(\tfrac{5}{13}\Bigr)^2} =\frac{12}{13}.

Passo 3

Escrevemos y=\tfrac{\pi}{4}-x e aplicamos a fórmula do seno de diferença:
\sin(y)=\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}-x\bigr) =\sin\tfrac{\pi}{4}\,\cos x-\cos\tfrac{\pi}{4}\,\sin x.
Como \sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}, segue
\sin(y) =\frac{\sqrt2}{2}\,\frac{12}{13} -\frac{\sqrt2}{2}\,\frac{5}{13} =\frac{\sqrt2}{2}\,\frac{7}{13} =\frac{7\sqrt2}{26}.

Passo 4

Para relacionar com \cos(y)$, usamos a fórmula do cosseno de diferença: \[\cos(y)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}-x\bigr) =\cos\tfrac{\pi}{4}\,\cos x+\sin\tfrac{\pi}{4}\,\sin x =\frac{\sqrt2}{2}\,\frac{12}{13} +\frac{\sqrt2}{2}\,\frac{5}{13} =\frac{17\sqrt2}{26}.\]

Passo 5

Finalmente, escrevemos \sin(y) em função de \cos(y) dividindo as duas expressões:
\sin(y) =\frac{\tfrac{7\sqrt2}{26}}{\tfrac{17\sqrt2}{26}}\;\cos(y) =\frac{7}{17}\,\cos(y).

Resposta

\sin(y)=\frac{7}{17}\,\cos(y).

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