Sabemos que área de uma região D \subset \mathbb{R}^{2} pode ser descrita pela integral dupla
A(D)=\iint_{D} 1 d A
Use integração dupla para calcular a área da região plana compreendida entre as curvas:
y=\operatorname{sen} x e y=\cos x, para 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}.

Passo 1

O enunciado pede a área da região D entre as curvas y=\sin x e y=\cos x para 0\le x\le \tfrac{\pi}{4}. O conteúdo é cálculo de área por integração dupla, usando que
A(D)=\iint_{D}1\,dA
e, em coordenadas cartesianas, tomando x como variável principal,
A(D)=\int_{x=a}^{x=b}\bigl(y_{\text{topo}}(x)-y_{\text{fundo}}(x)\bigr)\,dx.

Passo 2

Determinar qual curva está acima no intervalo. Para 0\le x\le \tfrac{\pi}{4}:
\sin0=0, \cos0=1 e em x=\tfrac{\pi}{4} vale \sin\tfrac{\pi}{4}=\cos\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}. Como \cos x decresce e \sin x cresce, temos
\cos x\ge \sin x \quad\text{em}\quad [0,\tfrac{\pi}{4}].

Passo 3

Escrever a integral de área subtraindo as ordenadas:
A(D) =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\bigl(\cos x-\sin x\bigr)\,dx.

Passo 4

Calcular a integral:
\int\bigl(\cos x-\sin x\bigr)\,dx =\sin x+\cos x+C.
Logo,
A(D) =\Bigl[\sin x+\cos x\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{4}} =\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)-(0+1) =\sqrt2-1.

Resposta

A área da região é \sqrt2-1.

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