Esboce a região de integração e mude a ordem para calcular as integrais a seguir.
\int_{0}^{2} \int_{\frac{y}{2}}^{1} \cos \left(x^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{\tfrac{y}{2}}^{1}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx\,dy
e pede para esboçar a região de integração, trocar a ordem e calcular a integral. O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini e uso de substituição para integrar funções do tipo x\cos(x^2).

Passo 2

Descrevendo a região no plano xy:
  • y varia de 0 a 2.
  • Para cada y, x varia de x=\tfrac{y}{2} até x=1.
    As curvas que limitam a região são
y=0,\quad y=2,\quad x=\frac{y}{2}\;(\text{ou }y=2x),\quad x=1.
Isso forma um trapézio que, visto de outra ordem, fica
0\le x\le1,\quad 0\le y\le2x.

Passo 3

Trocando a ordem de integração obtemos
\int_{0}^{2}\int_{\tfrac{y}{2}}^{1}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\int_{0}^{2x}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos primeiro em y, tratando \cos(x^2) como constante em relação a y:
\int_{0}^{2x}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dy =\bigl[y\,\cos(x^{2})\bigr]_{0}^{2x} =2x\cos\bigl(x^{2}\bigr).
Assim a integral se reduz a
\int_{0}^{1}2x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Fazemos a substituição u=x^{2}, logo du=2x\,dx. Quando x=0, u=0; quando x=1, u=1. A integral vira
\int_{0}^{1}2x\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}\cos(u)\,du =\bigl[\sin(u)\bigr]_{0}^{1} =\sin(1).

Resposta

\sin(1)

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