3.4 Sabendo que d=30,5 \mathrm{~mm}, determine o torque \mathbf{T} que causa a máxima tensão de cisalhamento de 51,7 \mathrm{MPa} no eixo vazado mostrado.

Passo 1

O enunciado dá claramente o seguinte:
  • Um diâmetro d=30,5\\ \mathrm{mm} (fornecido no enunciado).
  • A máxima tensão de cisalhamento desejada é \tau_{\max}=51,7\\ \mathrm{MPa}.
    A pergunta é: determinar o torque \mathbf{T} que provoca essa máxima tensão de cisalhamento no eixo vazado mostrado.
Importante: a figura do eixo vazado não foi enviada, portanto falta uma informação essencial para um cálculo numérico: o diâmetro interno do eixo (vou chamar de d_i). Sem d_i não é possível obter um valor numérico definitivo do torque. A seguir mostro a dedução geral que permite calcular T assim que d_i for conhecido e dou exemplos numéricos para casos especiais.

Passo 2

Conceito físico e fórmula básica da torção:
  • Para uma seção circular submetida a torque, a máxima tensão de cisalhamento na parede externa é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • \tau_{\max} é a máxima tensão de cisalhamento (unidade: \mathrm{Pa});
  • T é o torque aplicado (unidade: \mathrm{N\cdot m});
  • c é a distância do centro à fibra mais externa (raio externo) (unidade: \mathrm{m});
  • J é o momento polar de inércia da seção transversal (unidade: \mathrm{m^4}).
Explicando com calma: essa fórmula vem da distribuição de tensões por torção em seções circulares. Ela mostra que, para um dado T, a tensão é proporcional ao raio externo e inversamente proporcional a J. Para inverter e achar T a partir de uma tensão conhecida, isolamos T:
T=\tau_{\max}\frac{J}{c}.

Passo 3

Momento polar J para uma seção circular vazada:
  • Para um anel circular com raio externo R e raio interno r,
J=\frac{\pi}{2}\bigl(R^4-r^4\bigr).
  • Em termos de diâmetros externo D e interno d_i (onde R=D/2 e r=d_i/2) fica mais prático
J=\frac{\pi}{32}\bigl(D^4-d_i^4\bigr).
Sempre expresse D e d_i em metros quando for calcular numericamente.

Passo 4

Substituindo J e c na expressão de T e simplificando (usando c=R=D/2):
T=\tau_{\max}\frac{J}{c} =\tau_{\max}\frac{\dfrac{\pi}{32}\bigl(D^4-d_i^4\bigr)}{D/2} =\tau_{\max}\frac{\pi}{16}\,D^3\!\left(1-\left(\frac{d_i}{D}\right)^4\right).
Esta é a fórmula final e prática: basta conhecer o diâmetro externo D (que provavelmente é o d=30,5\\ \mathrm{mm} do enunciado, caso esse d seja o diâmetro externo) e o diâmetro interno d_i que aparece na figura.
Observações de unidades e procedimento para calcular numericamente:
  • Converter D e d_i para metros antes de elevar à potência: por exemplo 30,5\\ \mathrm{mm}=0,0305\\ \mathrm{m}.
  • Converter \tau_{\max} para pascal: 51,7\\ \mathrm{MPa}=51{,}7\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  • Inserir os valores na fórmula e calcular T em \mathrm{N\cdot m}.

Passo 5

Exemplos numéricos ilustrativos (para ganhar intuição), usando D=30,5\\ \mathrm{mm}=0,0305\\ \mathrm{m} e \tau_{\max}=51{,}7\times10^{6}\\ \mathrm{Pa}.
  1. Caso especial — eixo maciço ( d_i=0). A fórmula reduz para
T_{\text{maciço}}=\tau_{\max}\frac{\pi}{16}D^3.ç
Cálculo:
D^3=(0,0305)^3\approx2{,}83826\times10^{-5}\\ \mathrm{m^3},
\frac{\pi}{16}D^3\approx5{,}573\times10^{-6}\\ \mathrm{m^3},
T_{\text{maciço}}=51{,}7\times10^{6}\cdot5{,}573\times10^{-6}\approx288{,}1\\ \mathrm{N\cdot m}.ç
  1. Exemplo para um eixo vazado com razão d_i/D=0,6 (apenas ilustrativo):
1-\left(\frac{d_i}{D}\right)^4=1-0{,}6^4=1-0{,}1296=0{,}8704,
T=288{,}1\\ \mathrm{N\cdot m}\times0{,}8704\approx250{,}9\\ \mathrm{N\cdot m}.
Esses exemplos mostram como o valor do diâmetro interno reduz o torque necessário para atingir a mesma tensão de cisalhamento.

Resposta

Não é possível determinar numericamente o torque sem o diâmetro interno d_i (não fornecido na figura). A expressão geral é:
T=\tau_{\max}\,\frac{\pi}{16}\,D^3\!\left(1-\left(\frac{d_i}{D}\right)^4\right).
Se o diâmetro dado d=30,5\\ \mathrm{mm} for o diâmetro externo D, então, por exemplo, para eixo maciço ( d_i=0) tem-se T\approx288{,}1\\ \mathrm{N\cdot m}.

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