1{ }^{\text {a }} Questão (3,0 pontos) -
(a) Um arame de alumínio, de 30 metros de comprimento, é submetido a uma tensão de tração de 700 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}; determinar o alongamento do arame.
(b) De quantos metros de comprimento deveria ser um arame de aço com o mesmo diâmetro para ter o mesmo alongamento?
Adotar: \mathrm{E}_{\text {aluminio }}=0,7 \times 10^{6} \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} e
\mathrm{E}_{\mathrm{aco} \mathrm{o}}=2,1 \times 10^{6} \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar o alongamento do arame de alumínio.
    • (b) Determinar de que comprimento deveria ser um arame de aço, com o mesmo diâmetro, para ter o mesmo alongamento sob a mesma tensão.
  • Dados fornecidos:
    • comprimento do arame de alumínio: L_{\text{Al}}=30\\ \mathrm{m}.
    • tensão aplicada (tensão de tração): \sigma=700\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
    • módulo de Young do alumínio: E_{\text{Al}}=0,7\times10^{6}\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}.
    • módulo de Young do aço: E_{\text{Aço}}=2,1\times10^{6}\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}ç.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (a pequena “aula” para a prova).
  • Definição de tensão e deformação:
    • A tensão \sigma (às vezes chamada de tensão normal) é força por unidade de área; aqui já foi dada em \mathrm{kgf/cm^{2}}.
    • A deformação (ou strain) \varepsilon é a variação relativa de comprimento:
    \varepsilon=\frac{\Delta L}{L},
    onde \Delta L é o alongamento e L é o comprimento inicial.
  • Módulo de Young (Lei de Hooke para deformação axial elástica):
    • O módulo de Young E relaciona tensão e deformação por
    E=\frac{\sigma}{\varepsilon}.
    • Desse modo, isolando a deformação:
    \varepsilon=\frac{\sigma}{E}.
    • E combinando com \varepsilon=\dfrac{\Delta L}{L} obtemos a fórmula prática para o alongamento:
    \Delta L=\frac{\sigma}{E}\,L.
    Observação prática: se \sigma e E estão nas mesmas unidades, a razão \sigma/E é adimensional (deformação), e \Delta L fica na mesma unidade de L.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao arame de alumínio (parte (a)) — cálculo passo a passo.
  • Calcular a deformação no alumínio:
\varepsilon_{\text{Al}}=\frac{\sigma}{E_{\text{Al}}}=\frac{700}{0,7\times10^{6}}.
  • Efetuando a conta:
\varepsilon_{\text{Al}}=\frac{700}{700000}=0,001=1\times10^{-3}.
  • Agora o alongamento:
\Delta L_{\text{Al}}=\varepsilon_{\text{Al}}\,L_{\text{Al}}=0,001\times30\\ \mathrm{m}=0,03\\ \mathrm{m}.
  • Converter para centímetros (opcional, mais intuitivo):
0,03\\ \mathrm{m}=3\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Raciocínio para a parte (b): arame de aço com mesmo diâmetro deve ter que comprimento para o mesmo \Delta L.
  • Queremos \Delta L_{\text{Aço}}=\Delta L_{\text{Al}}ç sob a mesma tensão \sigma e mesmo diâmetro (a área cancela porque \sigma é dado).
  • Usando a fórmula \Delta L=\dfrac{\sigma}{E}L para cada material e igualando:
\frac{\sigma}{E_{\text{Aço}}}L_{\text{Aço}}=\frac{\sigma}{E_{\text{Al}}}L_{\text{Al}}.çç
  • Cancelando \sigma (mesmas tensão) obtém-se:
L_{\text{Aço}}=L_{\text{Al}}\frac{E_{\text{Aço}}}{E_{\text{Al}}}.çç

Passo 5

Cálculo numérico para o comprimento do arame de aço.
  • Calcular a razão dos módulos:
\frac{E_{\text{Aço}}}{E_{\text{Al}}}=\frac{2,1\times10^{6}}{0,7\times10^{6}}=\frac{2,1}{0,7}=3.ç
  • Portanto
L_{\text{Aço}}=30\\ \mathrm{m}\times3=90\\ \mathrm{m}.ç

Passo 6

Checagens rápidas (para a prova):
  • As unidades de \sigma e E foram mantidas iguais, então a deformação calculada é adimensional e \Delta L está em metros porque L foi dado em metros.
  • Resultado razoável: aço é mais rígido (maior E), então para obter o mesmo alongamento sob a mesma tensão precisamos de um trecho de aço mais longo.

Resposta

(a) \Delta L_{\text{Al}}=0,03\\ \mathrm{m} ( 3\\ \mathrm{cm})
(b) L_{\text{Aço}}=90\\ \mathrm{m}ç

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