Questão (3,0 pontos) -
(a) Um arame de alumínio, de 30 metros de comprimento, é submetido a uma tensão de tração de 700
; determinar o alongamento do arame.
(b) De quantos metros de comprimento deveria ser um arame de aço com o mesmo diâmetro para ter o mesmo alongamento?
Adotar:
e
(a) Um arame de alumínio, de 30 metros de comprimento, é submetido a uma tensão de tração de 700
(b) De quantos metros de comprimento deveria ser um arame de aço com o mesmo diâmetro para ter o mesmo alongamento?
Adotar:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
-
Perguntas:
- (a) Determinar o alongamento do arame de alumínio.
- (b) Determinar de que comprimento deveria ser um arame de aço, com o mesmo diâmetro, para ter o mesmo alongamento sob a mesma tensão.
-
Dados fornecidos:
- comprimento do arame de alumínio:
. - tensão aplicada (tensão de tração):
. - módulo de Young do alumínio:
. - módulo de Young do aço:
.
- comprimento do arame de alumínio:
Passo 2
Conceitos e fórmulas essenciais (a pequena “aula” para a prova).
-
Definição de tensão e deformação:
- A tensão
(às vezes chamada de tensão normal) é força por unidade de área; aqui já foi dada em . - A deformação (ou strain)
é a variação relativa de comprimento:
ondeé o alongamento e é o comprimento inicial. - A tensão
-
Módulo de Young (Lei de Hooke para deformação axial elástica):
- O módulo de Young
relaciona tensão e deformação por
- Desse modo, isolando a deformação:
- E combinando com
obtemos a fórmula prática para o alongamento:
Observação prática: see estão nas mesmas unidades, a razão é adimensional (deformação), e fica na mesma unidade de . - O módulo de Young
Passo 3
Aplicando a fórmula ao arame de alumínio (parte (a)) — cálculo passo a passo.
- Calcular a deformação no alumínio:
- Efetuando a conta:
- Agora o alongamento:
- Converter para centímetros (opcional, mais intuitivo):
Passo 4
Raciocínio para a parte (b): arame de aço com mesmo diâmetro deve ter que comprimento para o mesmo
.
- Queremos
sob a mesma tensão e mesmo diâmetro (a área cancela porque é dado). - Usando a fórmula
para cada material e igualando:
- Cancelando
(mesmas tensão) obtém-se:
Passo 5
Cálculo numérico para o comprimento do arame de aço.
- Calcular a razão dos módulos:
- Portanto
Passo 6
Checagens rápidas (para a prova):
- As unidades de
e foram mantidas iguais, então a deformação calculada é adimensional e está em metros porque foi dado em metros. - Resultado razoável: aço é mais rígido (maior
), então para obter o mesmo alongamento sob a mesma tensão precisamos de um trecho de aço mais longo.
Resposta
(a)
(
)
(b)
(b)