EXEMPLO 1.2 - Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória horizontal com uma velocidade de
, onde
é o tempo em segundos. Se ela está localizada inicialmente na origem
, determine a distância total percorrida em
, a velocidade escalar média e a velocidade média da partícula durante o intervalo de tempo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A velocidade da partícula é
, onde está em segundos. - A posição inicial é a origem:
.
O enunciado pede: - A distância total percorrida no intervalo de tempo de
até s. - A velocidade escalar média (ou seja, a média dos módulos das velocidades) no mesmo intervalo.
- A velocidade média (ou seja, o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo) no mesmo intervalo.
Passo 2
Primeiro identifiquemos quando a velocidade muda de sinal, porque isso define se a partícula inverte o sentido de movimento (o que afeta a distância percorrida, já que devemos somar módulos).
Resolver :
Resolver
Interpretação do sinal:
- Para
temos (movimento no sentido negativo). - Para
temos (movimento no sentido positivo).
Portanto, para calcular a distância total entree s devemos dividir o intervalo em e e integrar o valor absoluto de em cada subintervalo.
Passo 3
Vamos obter a função posição
integrando
. Lembrando que integrar velocidade em relação ao tempo dá deslocamento:
Usando
obtemos
. Logo
A partir disso podemos calcular o deslocamento total entre
e
s:
Calcule
:
Portanto o deslocamento (vetorial) no intervalo é
(no sentido positivo).
Passo 4
Agora calculamos a distância total percorrida, que é a integral da velocidade escalar
de
a
. Como vimos,
é negativo em
e positivo em
. Assim:
Em
temos
. Em
temos
.
Passo 5
Calcule o primeiro integral (parte negativa do movimento):
Avaliação:
Passo 6
Calcule o segundo integral (parte positiva do movimento):
Avaliação:
Passo 7
Some as duas parcelas para obter a distância total:
Também é útil notar em fração:
.
Passo 8
Calcule a velocidade escalar média (média dos módulos das velocidades), que é a distância total dividida pelo tempo total:
Passo 9
Calcule a velocidade média vetorial (deslocamento dividido pelo tempo):
Comentário final rápido: a distinção entre velocidade escalar média e velocidade média é importante — a primeira usa a distância total (sempre positiva), a segunda usa o deslocamento (pode ser positivo, negativo ou zero), por isso os valores são diferentes aqui.