EXEMPLO 1.2 - Uma partícula move-se ao longo de uma trajetória horizontal com uma velocidade de v=(2 t-3) \mathrm{m} / \mathrm{s}, onde t é o tempo em segundos. Se ela está localizada inicialmente na origem O, determine a distância total percorrida em 4 s, a velocidade escalar média e a velocidade média da partícula durante o intervalo de tempo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A velocidade da partícula é v(t)=2t-3\\ \mathrm{m/s}, onde t está em segundos.
  • A posição inicial é a origem: x(0)=0.
    O enunciado pede:
  • A distância total percorrida no intervalo de tempo de 0 até 4 s.
  • A velocidade escalar média (ou seja, a média dos módulos das velocidades) no mesmo intervalo.
  • A velocidade média (ou seja, o deslocamento dividido pelo intervalo de tempo) no mesmo intervalo.

Passo 2

Primeiro identifiquemos quando a velocidade muda de sinal, porque isso define se a partícula inverte o sentido de movimento (o que afeta a distância percorrida, já que devemos somar módulos).
Resolver v(t)=0:
2t-3=0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{3}{2} = 1{,}5\\ \text{s}.
Interpretação do sinal:
  • Para 0\le t<1{,}5 temos v(t)<0 (movimento no sentido negativo).
  • Para t>1{,}5 temos v(t)>0 (movimento no sentido positivo).
    Portanto, para calcular a distância total entre 0 e 4 s devemos dividir o intervalo em [0,1{,}5] e [1{,}5,4] e integrar o valor absoluto de v(t) em cada subintervalo.

Passo 3

Vamos obter a função posição x(t) integrando v(t). Lembrando que integrar velocidade em relação ao tempo dá deslocamento:
x(t)=\int v(t)\,dt=\int (2t-3)\,dt = t^{2}-3t + C.
Usando x(0)=0 obtemos C=0. Logo
x(t)=t^{2}-3t.
A partir disso podemos calcular o deslocamento total entre 0 e 4 s:
\Delta x = x(4)-x(0)=x(4)-0.
Calcule x(4):
x(4)=4^{2}-3\cdot 4 = 16-12 = 4\\ \mathrm{m}.
Portanto o deslocamento (vetorial) no intervalo é \Delta x=4\\ \mathrm{m} (no sentido positivo).

Passo 4

Agora calculamos a distância total percorrida, que é a integral da velocidade escalar |v(t)| de 0 a 4. Como vimos, v(t) é negativo em [0,1{,}5) e positivo em (1{,}5,4]. Assim:
\text{distância total}=\int_{0}^{1{,}5} |v(t)|\,dt + \int_{1{,}5}^{4} |v(t)|\,dt.â
Em [0,1{,}5] temos |v(t)|=-(2t-3)=3-2t. Em [1{,}5,4] temos |v(t)|=2t-3.

Passo 5

Calcule o primeiro integral (parte negativa do movimento):
\int_{0}^{1{,}5} (3-2t)\,dt = \Big[3t - t^{2}\Big]_{0}^{1{,}5}.
Avaliação:
3\cdot 1{,}5 - (1{,}5)^{2} = 4{,}5 - 2{,}25 = 2{,}25\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcule o segundo integral (parte positiva do movimento):
\int_{1{,}5}^{4} (2t-3)\,dt = \Big[t^{2}-3t\Big]_{1{,}5}^{4}.
Avaliação:
\big(16-12\big) - \big( (1{,}5)^{2} - 3\cdot 1{,}5 \big) = 4 - \big(2{,}25 - 4{,}5\big) = 4 - (-2{,}25) = 6{,}25\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Some as duas parcelas para obter a distância total:
\text{distância total}=2{,}25 + 6{,}25 = 8{,}5\\ \mathrm{m}.â
Também é útil notar em fração: 8{,}5=\dfrac{17}{2}\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Calcule a velocidade escalar média (média dos módulos das velocidades), que é a distância total dividida pelo tempo total:
\bar{v}_{\text{esc}}=\frac{\text{distância total}}{\Delta t}=\frac{8{,}5}{4}=\frac{17}{8}=2{,}125\\ \mathrm{m/s}.â

Passo 9

Calcule a velocidade média vetorial (deslocamento dividido pelo tempo):
\bar{v}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{4}{4}=1\\ \mathrm{m/s}.
Comentário final rápido: a distinção entre velocidade escalar média e velocidade média é importante — a primeira usa a distância total (sempre positiva), a segunda usa o deslocamento (pode ser positivo, negativo ou zero), por isso os valores são diferentes aqui.

Resposta

\text{distância total} = 8{,}5\\ \mathrm{m}â
\text{velocidade escalar média} = \dfrac{17}{8}\\ \mathrm{m/s} \approx 2{,}125\\ \mathrm{m/s}é
\text{velocidade média} = 1\\ \mathrm{m/s}é

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