Sabendo que em cada caso a equação dada define uma função implícita y em termos de x, calcular y^prime(x) para cada caso:
y^3-3 x^2 y-2=0

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
y^3 - 3x^2y - 2 = 0
onde y é função de x. O conteúdo aqui é diferenciação implícita: vamos derivar ambos os lados em relação a x, lembrando que sempre que derivamos um termo com y aparece um fator y'=dydx.

Passo 2

Derivando termo a termo em relação a x:
ddxl(y^3r) = 3y^2,y',
ddxl(-3x^2yr) = -3ddx(x^2y) = -3l((x^2)'y + x^2,y'r) = -3l(2x,y + x^2,y'r) = -6x,y ;-;3x^2,y',
ddx(-2)=0
Somando tudo:
3y^2,y' ;-;6x,y ;-;3x^2,y' ;=;0

Passo 3

Agrupando os termos que têm y':
(3y^2 - 3x^2),y' ;-;6x,y = 0 Longrightarrow (3y^2 - 3x^2),y' = 6x,y

Passo 4

Isolando y' e simplificando o fator 3:
y' = 6x,y3,(y^2 - x^2) = 2x,yy^2 - x^2

Resposta

y' = 2x,yy^2 - x^2

Exercícios relacionados