Sabendo que cada partícula tem uma probabilidade d t / \tau de colidir entre o instante t e t+d t, obtenha a expressão N(t) do número de partículas que ainda não colidiram até ao instante t. Qual é o tempo médio ao fim do qual uma partícula sofre uma colisão?

Passo 1

O enunciado nos diz que cada partícula tem uma probabilidade \dfrac{dt}{\tau} de colidir no intervalo de tempo entre t e t+dt. Queremos (a) o número N(t) de partículas que ainda não colidiram até o instante t e (b) o tempo médio até a colisão. O conteúdo aqui é processo de decaimento exponencial e distribuição exponencial de tempos de espera.

Passo 2

Para achar N(t), note que em um breve intervalo dt o número de partículas que colidem é proporcional às que ainda não colidiram, isto é,
dN = -\bigl(\text{probabilidade de colisão em }dt\bigr)\times N(t) = -\frac{dt}{\tau}\,N(t).ã
Isso nos dá a equação diferencial
\frac{dN}{dt} = -\frac{1}{\tau}\,N(t).

Passo 3

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem com solução exponencial. Integrando, temos
\int\frac{dN}{N} = -\frac{1}{\tau}\int dt \quad\Longrightarrow\quad \ln N = -\frac{t}{\tau} + C.
Elevando exponencialmente e usando N(0)=N_0, obtemos
N(t) = N_0\,e^{-t/\tau}.

Passo 4

Portanto, a fração de partículas que ainda não colidiu até t segue uma lei exponencial de parâmetro \lambda = 1/\tau. Da distribuição dos tempos de colisão, a densidade de probabilidade de uma partícula colidir exatamente em t é
f(t) = \lambda\,e^{-\lambda t} = \frac{1}{\tau}\,e^{-t/\tau},
pois é a taxa de eventos em cada instante.

Passo 5

O tempo médio de colisão \langle t\rangle para uma distribuição exponencial é
\langle t\rangle = \int_{0}^{\infty} t\,f(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} t\,\frac{1}{\tau}e^{-t/\tau}\,dt = \tau.
Isso resulta da propriedade padrão da exponencial.

Resposta

N(t) = N_0\,e^{-t/\tau}.
O tempo médio até a colisão é \tau.

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