Sabendo que cada partícula tem uma probabilidade
de colidir entre o instante
e
, obtenha a expressão
do número de partículas que ainda não colidiram até ao instante
. Qual é o tempo médio ao fim do qual uma partícula sofre uma colisão?
Passo 1
O enunciado nos diz que cada partícula tem uma probabilidade
de colidir no intervalo de tempo entre
e
. Queremos (a) o número
de partículas que ainda não colidiram até o instante
e (b) o tempo médio até a colisão. O conteúdo aqui é processo de decaimento exponencial e distribuição exponencial de tempos de espera.
Passo 2
Para achar
, note que em um breve intervalo
o número de partículas que colidem é proporcional às que ainda não colidiram, isto é,
Isso nos dá a equação diferencial
Passo 3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem com solução exponencial. Integrando, temos
Elevando exponencialmente e usando
, obtemos
Passo 4
Portanto, a fração de partículas que ainda não colidiu até
segue uma lei exponencial de parâmetro
. Da distribuição dos tempos de colisão, a densidade de probabilidade de uma partícula colidir exatamente em
é
pois é a taxa de eventos em cada instante.
Passo 5
O tempo médio de colisão
para uma distribuição exponencial é
Isso resulta da propriedade padrão da exponencial.
Resposta
O tempo médio até a colisão é