Relacione o comprimento de onda de Fermi \lambda_{F} com a distância média entre os electrões no metal.

Passo 1

O enunciado pede para relacionar o comprimento de onda de Fermi \lambda_{F} com a distância média entre elétrons em um metal. O conteúdo necessário é o modelo do gás de elétrons livres, em que a densidade eletrônica é n, definimos a distância média entre elétrons d\sim n^{-1/3}, e usamos ainda o vetor de Fermi k_{F} definido por
k_{F}=(3\pi^{2}n)^{1/3}\,.

Passo 2

Definimos a distância média entre elétrons d como o inverso do cubo da densidade:
d = n^{-1/3}\,.
Esse valor é um parâmetro geométrico representando o espaçamento médio entre as partículas.

Passo 3

No modelo de elétrons livres, o vetor de Fermi k_{F} satisfaz
k_{F} = (3\pi^{2}n)^{1/3}\,,
pois dentro da esfera de raio k_{F} em k-espaço cabem exatamente N elétrons (contando spin).

Passo 4

O comprimento de onda de Fermi \lambda_{F} está relacionado a k_{F} por
\lambda_{F} = \frac{2\pi}{k_{F}}\,.

Passo 5

Substituindo k_{F} em função de n e usando d=n^{-1/3}, obtemos
\lambda_{F} = \frac{2\pi}{(3\pi^{2}n)^{1/3}} = 2\,\frac{\pi}{(3\pi^{2})^{1/3}}\,n^{-1/3} = 2\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)^{1/3}\,d\,.

Passo 6

Para ver o valor numérico do fator multiplicativo, note que
\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)^{1/3}\approx1{,}015,
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\lambda_{F}\approx2{,}03\,d\,.

Resposta

\displaystyle \lambda_{F}=2\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr)^{1/3}\,d\approx2{,}03\,d,
ou seja, o comprimento de onda de Fermi é da ordem do dobro da separação média entre elétrons.

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