Sabendo que em cristais cúbicos as distâncias interatômicas são determinadas pela expressão d_{h k l} fornecida no problema anterior. Esboce um difratograma com os picos (111), (200) e (220), onde o pico (111) está localizado em \theta=15^{\circ}.

Passo 1

O enunciado pede um esboço de difratograma (intensidade vs. ângulo de difração) para um cristal cúbico, mostrando apenas os três primeiros picos de difração correspondentes aos planos (111), (200) e (220). Sabemos que em cúbicos
d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}
e que a Lei de Bragg é
2\,d_{hkl}\,\sin\theta_{hkl}=\lambda.
Foi dado que o pico (111) aparece em \theta_{111}=15^\circ. A partir daí, vamos determinar \theta_{200} e \theta_{220} e então esboçar o difratograma.

Passo 2

Escrevendo a Lei de Bragg para um dado plano (hkl),
\sin\theta_{hkl} =\frac{\lambda}{2\,d_{hkl}} =\frac{\lambda}{2}\,\frac{\sqrt{h^2+k^2+l^2}}{a}.
Para (111) temos
\sin15^\circ =\frac{\lambda}{2a}\,\sqrt{1^2+1^2+1^2} =\frac{\lambda}{2a}\,\sqrt{3},
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\frac{\lambda}{2a}=\frac{\sin15^\circ}{\sqrt3}.
Substituindo em \sin\theta_{200} e \sin\theta_{220}, obtemos
\sin\theta_{200} =\frac{\sin15^\circ}{\sqrt3}\,\sqrt{2^2} =\frac{2\,\sin15^\circ}{\sqrt3},
\sin\theta_{220} =\frac{\sin15^\circ}{\sqrt3}\,\sqrt{2^2+2^2} =\frac{2\sqrt2\,\sin15^\circ}{\sqrt3}.

Passo 3

Calculemos numericamente usando \sin15^\circ\approx0,2588 e \sqrt3\approx1,732:
\sin\theta_{200} \approx\frac{2\times0,2588}{1,732}\approx0,2988 \quad\Longrightarrow\quad \theta_{200}\approx\arcsin(0,2988)\approx17,4^\circ,
\sin\theta_{220} \approx\frac{2{,}828\times0,2588}{1,732}\approx0,4226 \quad\Longrightarrow\quad \theta_{220}\approx\arcsin(0,4226)\approx25,0^\circ.

Passo 4

Agora esboçamos o difratograma em função de \theta. No eixo horizontal marcamos de 10^\circ a 30^\circ; no vertical, intensidade qualitativa. Os três picos ficam centrados em \theta_{111}=15{,}0^\circ, \theta_{200}=17{,}4^\circ e \theta_{220}=25{,}0^\circ.

Resposta

Intensidade
 |
 | /\ 
 | / \ /\ 
 | /\ / \ / \ 
 | / \ / \ / \
---+--------------------------------> \(\theta 10\circ 15\circ 17,4\circ 25\circ 30\circ\)
 (111) (200) (220)

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