Sabendo que a distância Mercúrio-Sol no periélio é de 46001009 km e que a distância Mercúrio-Sol no afélio é de 69817445 km , determine:
(a) O semieixo maior da órbita de Mércurio em torno do Sol;
(b) A excentricidade da órbita;
(c) O período orbital em anos terrestres.

Passo 1

O enunciado dá duas distâncias do Sol a Mercúrio:
  • distância no periélio: \,r_p = 46001009\\ \text{km}.
  • distância no afélio: \,r_a = 69817445\\ \text{km}.
O que é pedido:
(a) o semieixo maior da órbita ( a) em km;
(b) a excentricidade da órbita ( e);
(c) o período orbital em anos terrestres ( T).
Vou usar as definições clássicas da elipse e a 3ª lei de Kepler (explicadas nos passos seguintes).

Passo 2

Definição e cálculo do semieixo maior a.
Explicação rápida (didática): numa órbita elíptica em torno do Sol, o periélio e o afélio são os pontos mais próximo e mais afastado do foco (o Sol). Se a é o semieixo maior da elipse, vale a relação
r_p = a(1-e), \qquad r_a = a(1+e),
onde e é a excentricidade. Somando as duas equações obtemos
r_p + r_a = 2a.
Essa fórmula é muito prática: o semieixo maior é simplesmente a média aritmética das distâncias periélio e afélio.
Cálculo numérico:
a = \frac{r_p + r_a}{2} = \frac{46001009 + 69817445}{2} = \frac{115818454}{2} = 57909227\\ \text{km}.

Passo 3

Definição e cálculo da excentricidade e.
Explicação rápida (didática): subtraindo as duas equações anteriores, r_a - r_p = 2 a e, então
e = \frac{r_a - r_p}{2a}.
Uma forma equivalente, usando 2a = r_a + r_p, é
e = \frac{r_a - r_p}{r_a + r_p}.
Isso faz sentido: se r_a = r_p (círculo) então e=0; quanto maior a diferença, maior e.
Cálculo numérico:
r_a - r_p = 69817445 - 46001009 = 23816436.
Usando a forma direta:
e = \frac{23816436}{115818454} \approx 0,205636.
(Arredondarei mais adiante, mas já vemos que e\approx0{,}2056.)

Passo 4

Converter a para unidades astronômicas (AU) e usar a 3ª lei de Kepler para obter o período.
Explicação didática da 3ª lei de Kepler (na forma prática): para corpos que orbitam o Sol, se medirmos o semieixo maior a em unidades astronômicas ( \text{AU}) e o período T em anos terrestres, a lei de Kepler fica muito simples:
T^2 = a^3.
Isso acontece porque a constante gravitacional combinada com a massa do Sol e as unidades escolhidas faz com que o fator multiplicativo seja 1. Assim, basta calcular a em AU e tirar a raiz quadrada de a^3, isto é T=a^{3/2}.
Primeiro converto a de km para AU. Valor usado para 1 AU:
1\\ \text{AU} = 149597870{,}7\\ \text{km}.
Cálculo:
a_{\text{AU}} = \frac{57909227}{149597870{,}7} \approx 0{,}387098.
Agora aplico a 3ª lei:
T = a_{\text{AU}}^{3/2} = (0{,}387098)^{3/2} \approx 0{,}240846\\ \text{anos}.
Observação prática (útil na prova): se for pedido em dias, multiplica-se por 365{,}25; aqui obtemos T\approx 0{,}240846\times365{,}25\approx87{,}97 dias, mas o enunciado pediu anos.

Passo 5

Resumo dos valores calculados (valores arredondados de modo consistente para uso em prova):
  • semieixo maior:
a = 57909227\\ \text{km}.
  • excentricidade:
e \approx 0{,}205636 \quad(\text{pode-se dar }0{,}2056\text{ com 4 casas significativas}).
  • período orbital:
T \approx 0{,}240846\\ \text{anos terrestres}.
Força aí — esses passos mostram exatamente o que fazer na prova: 1) calcule a média para a, 2) calcule a diferença relativa para e, 3) converta a para AU e aplique T=a^{3/2}. Dá para fazer tudo sem máquina financeira complicada, só com soma, divisão e potências simples.

Resposta

(a) \,a = 57909227\\ \text{km}
(b) \,e \approx 0{,}205636
(c) \,T \approx 0{,}240846\\ \text{anos}

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