Sabendo que a distância Mercúrio-Sol no periélio é de 46001009 km e que a distância Mercúrio-Sol no afélio é de 69817445 km , determine:
(a) O semieixo maior da órbita de Mércurio em torno do Sol;
(b) A excentricidade da órbita;
(c) O período orbital em anos terrestres.
(a) O semieixo maior da órbita de Mércurio em torno do Sol;
(b) A excentricidade da órbita;
(c) O período orbital em anos terrestres.
Passo 1
O enunciado dá duas distâncias do Sol a Mercúrio:
- distância no periélio:
. - distância no afélio:
.
O que é pedido:
(a) o semieixo maior da órbita ( ) em km;
(b) a excentricidade da órbita ( );
(c) o período orbital em anos terrestres ( ).
(a) o semieixo maior da órbita (
(b) a excentricidade da órbita (
(c) o período orbital em anos terrestres (
Vou usar as definições clássicas da elipse e a 3ª lei de Kepler (explicadas nos passos seguintes).
Passo 2
Definição e cálculo do semieixo maior
.
Explicação rápida (didática): numa órbita elíptica em torno do Sol, o periélio e o afélio são os pontos mais próximo e mais afastado do foco (o Sol). Se
é o semieixo maior da elipse, vale a relação
onde
é a excentricidade. Somando as duas equações obtemos
Essa fórmula é muito prática: o semieixo maior é simplesmente a média aritmética das distâncias periélio e afélio.
Cálculo numérico:
Passo 3
Definição e cálculo da excentricidade
.
Explicação rápida (didática): subtraindo as duas equações anteriores,
, então
Uma forma equivalente, usando
, é
Isso faz sentido: se
(círculo) então
; quanto maior a diferença, maior
.
Cálculo numérico:
Usando a forma direta:
(Arredondarei mais adiante, mas já vemos que
.)
Passo 4
Converter
para unidades astronômicas (AU) e usar a 3ª lei de Kepler para obter o período.
Explicação didática da 3ª lei de Kepler (na forma prática): para corpos que orbitam o Sol, se medirmos o semieixo maior
em unidades astronômicas (
) e o período
em anos terrestres, a lei de Kepler fica muito simples:
Isso acontece porque a constante gravitacional combinada com a massa do Sol e as unidades escolhidas faz com que o fator multiplicativo seja 1. Assim, basta calcular
em AU e tirar a raiz quadrada de
, isto é
.
Primeiro converto
de km para AU. Valor usado para 1 AU:
Cálculo:
Agora aplico a 3ª lei:
Observação prática (útil na prova): se for pedido em dias, multiplica-se por
; aqui obtemos
dias, mas o enunciado pediu anos.
Passo 5
Resumo dos valores calculados (valores arredondados de modo consistente para uso em prova):
- semieixo maior:
- excentricidade:
- período orbital:
Força aí — esses passos mostram exatamente o que fazer na prova: 1) calcule a média para
, 2) calcule a diferença relativa para
, 3) converta
para AU e aplique
. Dá para fazer tudo sem máquina financeira complicada, só com soma, divisão e potências simples.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)