Responda detalhadamente as questões a seguir.
Defina a segunda lei de Newton para rotações. Considere os casos em que a massa e a distribuição de massa são constantes e variáveis.
Defina a segunda lei de Newton para rotações. Considere os casos em que a massa e a distribuição de massa são constantes e variáveis.
Passo 1
O enunciado pede para eu definir a segunda lei de Newton no contexto de rotações e tratar dois casos separados:
- caso em que a massa e a distribuição de massa são constantes (corpo rígido);
- caso em que a massa e/ou a distribuição de massa variam com o tempo.
Informações e notação que vou usar (tudo que aparece abaixo é dado ou será usado na resolução):
-
: momento (torque) resultante aplicado ao corpo (vetor). -
: momento angular (angular momentum) do sistema/objeto (vetor). -
: vetor posição de um elemento de massa em relação ao eixo/origem. -
: velocidade linear do elemento de massa. -
: massa (pode ser massa total ou massa de um elemento ). -
: momento de inércia do corpo em relação ao eixo considerado (pode ser função do tempo ). -
: velocidade angular (vetor). -
: aceleração angular. - Notarei explicitamente quando a massa total é constante ou quando há variação de massa/redistribuição.
A tarefa é: (i) escrever a forma geral da segunda lei para rotações; (ii) deduzir a forma para corpo rígido (
constante); (iii) deduzir a forma quando
varia no tempo e comentar o caso de variação de massa (entrada/saída de massa).
Passo 2
Princípio geral (analogia com a segunda lei translacional).
A segunda lei de Newton para forças lineares diz que a força resultante é a taxa de variação do momento linear:
A forma totalmente geral para rotações segue a mesma ideia: o torque resultante é a taxa de variação do momento angular. Escrevendo isso:
Esta é a forma mais fundamental e geral. Aqui:
-
é a soma vetorial dos torques externos ( ) aplicados ao sistema. -
é o momento angular total do sistema, definido como a soma/integral dos momentos angulares dos elementos de massa:
Esta equação vetorial é válida sempre (desde que os vetores sejam medidos num referencial inercial ou lidando corretamente com referências não-inerciais).
Passo 3
Caso 1 — massa e distribuição de massa constantes (corpo rígido): derivação e interpretação.
- Definição de momento de inércia para rotação em torno de um eixo (ou de um eixo principal): para um corpo rígido,
onde
é a distância de cada elemento de massa
ao eixo de rotação. Para um sistema de partículas discretas isso vira
. Para um ponto de massa
a distância
do eixo,
.
- Para um corpo rígido que gira em torno desse eixo com velocidade angular
, cada elemento tem velocidade linear . O momento angular total ao longo do eixo (quando é paralelo ao eixo principal e a geometria é adequada) reduz-se à forma escalar familiar:
Aqui é importante: essa forma vetorial simples vale quando se escolhe um eixo principal (ou para rotações em torno de um eixo fixo com simetria adequada) de modo que
seja um escalar para aquele eixo; caso geral de corpo não-simétrico há tensores de inércia, mas para a maioria dos exercícios básicos usa-se
escalar.
- Se a massa e a distribuição são constantes, então
é constante no tempo. Aplicando a forma geral e usando com constante:
Esta é a forma usual que aparece nas aulas: torque resultante igual momento de inércia vezes aceleração angular. Interpretação:
-
e são vetores com a mesma direção (no caso uniaxial). - Para problemas de prova: calcule
(somando/integrando ), calcule e então .
Exemplo rápido e concreto (mini-aula):
- Dois pontos de massa
fixos em uma haste leve, a distâncias e . Então . - Se se aplica torque
constante, então a aceleração angular é . Em prova, não precisa de calculadora se for dado por expressão simples.
Passo 4
Caso 2 — distribuição de massa varia no tempo (mas sem troca de massa com o entorno): dedução e significado físico.
Situação: a massa total
do corpo permanece a mesma, mas a distribuição muda com o tempo (elementos de massa movem-se internamente em relação ao eixo), portanto
.
- Partimos da forma geral:
Se a orientação do eixo é tal que
(a forma escalar-vetorial continua válida), então ao derivar produto:
Escrevendo de forma mais direta:
- Interpretação física do termo extra
:
- Esse termo existe porque, mesmo que a velocidade angular
seja constante, a mudança na distribuição (variação de ) altera o momento angular . Para que mude é preciso um torque externo; esse torque adicional aparece como . - Se não há torque externo (
), então e portanto constante: a quantidade é conservada. Este é o princípio usado no exemplo clássico do patinador artístico: ao aproximar os braços (reduzir ), a velocidade angular aumenta para manter constante.
- Exemplo numérico simples de aplicação sem cálculo pesado:
- Se inicialmente
e , depois a pessoa puxa os braços e passa para sem torques externos, então . Esta conclusão vem direto de conservação do momento angular (caso ).
Observação prática: quando resolver um problema de prova e a descrição diz que o corpo “encolhe” ou “redistribui massa” mas não fala em perda de massa, use a fórmula com
(ou conserve
se
). Se o problema pedir torque necessário para produzir certa variação de
enquanto
muda, use
.
Passo 5
Caso especial: variação da massa total — entrada/saída de massa (sistemas abertos). como tratar corretamente.
Quando massa é adicionada ou expelida (por exemplo, um foguete que ejeta massa, ou areia saindo de um tambor girante), a situação fica mais delicada porque o sistema pode trocar massa e, com isso, trocar momento angular com o ambiente. A regra geral continua sendo a forma fundamental:
onde
é o momento angular do conjunto de partículas que, no instante considerado, pertencem ao sistema. Se massa sai ou entra,
tem duas contribuições:
- a variação do momento angular da massa que permanece (termo semelhante a
); - mais um termo devido ao fluxo de momento angular através da fronteira (a massa que sai leva momento angular com ela ou a massa que entra traz momento angular).
Em linguagem de mecânica de contínua/controle de volume, pode escrever:
onde o segundo termo é o fluxo de momento angular pela superfície
. Não é necessário decorar essa forma para exercícios básicos, mas é bom saber o conceito: massa que sai leva seu
e isso afeta a variação total de
.
Regras práticas para provas:
- Se sistema é fechado (sem troca de massa com exterior): aplicar
e, se adicionalmente , usar a forma com . - Se massa é expelida/absorvida: inclua o efeito do fluxo de momento angular (normalmente o enunciado dá as velocidades e localizações da massa expelida; aí calcula-se a perda de
por essa massa e aplica conservação/global de conforme necessário). Se não houver torques externos e considerar corpo + jato (sistema total), o momento angular total se conserva.
Exemplo qualitativo: tambor girando com areia que vaza radialmente para fora. A areia que sai leva momento angular; se não houver torque externo, a roda+restante de areia têm momento angular que muda por conta dessa perda — a velocidade angular pode reduzir mais do que o caso só de
interno.
Passo 6
Resumo prático de como proceder em uma prova (passo-a-passo):
- Identifique se o sistema é fechado em massa (a massa total muda?) e se a distribuição muda internamente.
- Use a forma geral:
- Se for corpo rígido com
constante, aplique
- Se
porque a distribuição muda mas a massa total é constante (rede interna), use
- Se há troca de massa com o ambiente, escreva a equação de balanço do momento angular incluindo o termo de fluxo de momento angular; se não houver torques externos, verifique se é possível aplicar conservação do momento angular ao sistema ampliado (incluindo a massa ejetada).
- Cheque unidades e direções vetoriais (torque e
têm direção determinada pela regra da mão direita).
Passo 7
Observações finais e dicas de entendimento (pra te acalmar e prender o conceito):
- Pense em
como a “versão rotacional” do impulso linear . Torque muda assim como força muda . - O termo
aparece sempre que a distribuição muda: é o preço que se paga por mudar o “braço de alavanca” das massas. - Quando não há torques externos, o que importa é: o momento angular total do sistema (incluindo o que sai/entra) é conservado.
- Exemplos famosos para lembrar: patinador (redistribuição interna, massa constante) e foguete (variação de massa com efluxo).
Resposta
Para corpo rígido (massa e distribuição constantes):
Para distribuição variável (massa total constante,
):
Para variação da massa total (massa entrando/saindo): usar
e incluir o termo de fluxo de momento angular devido à massa que cruza a fronteira (ou então aplicar conservação do momento angular ao sistema fechado total incluindo a massa expelida).