Responda detalhadamente as questões a seguir.
Defina a segunda lei de Newton para rotações. Considere os casos em que a massa e a distribuição de massa são constantes e variáveis.

Passo 1

O enunciado pede para eu definir a segunda lei de Newton no contexto de rotações e tratar dois casos separados:
  • caso em que a massa e a distribuição de massa são constantes (corpo rígido);
  • caso em que a massa e/ou a distribuição de massa variam com o tempo.
Informações e notação que vou usar (tudo que aparece abaixo é dado ou será usado na resolução):
  • \boldsymbol{\tau}: momento (torque) resultante aplicado ao corpo (vetor).
  • \mathbf{L}: momento angular (angular momentum) do sistema/objeto (vetor).
  • \mathbf{r}: vetor posição de um elemento de massa em relação ao eixo/origem.
  • \mathbf{v}: velocidade linear do elemento de massa.
  • m: massa (pode ser massa total ou massa de um elemento dm).
  • I: momento de inércia do corpo em relação ao eixo considerado (pode ser função do tempo I(t)).
  • \boldsymbol{\omega}: velocidade angular (vetor).
  • \boldsymbol{\alpha}=\dot{\boldsymbol{\omega}}: aceleração angular.
  • Notarei explicitamente quando a massa total é constante ou quando há variação de massa/redistribuição.
A tarefa é: (i) escrever a forma geral da segunda lei para rotações; (ii) deduzir a forma para corpo rígido ( I constante); (iii) deduzir a forma quando I varia no tempo e comentar o caso de variação de massa (entrada/saída de massa).

Passo 2

Princípio geral (analogia com a segunda lei translacional).
A segunda lei de Newton para forças lineares diz que a força resultante é a taxa de variação do momento linear:
\mathbf{F}_{\rm net}=\frac{d\mathbf{p}}{dt}.
A forma totalmente geral para rotações segue a mesma ideia: o torque resultante é a taxa de variação do momento angular. Escrevendo isso:
\boldsymbol{\tau}_{\rm net}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}.
Esta é a forma mais fundamental e geral. Aqui:
  • \boldsymbol{\tau}_{\rm net} é a soma vetorial dos torques externos ( \mathbf{r}\times\mathbf{F} ) aplicados ao sistema.
  • \mathbf{L} é o momento angular total do sistema, definido como a soma/integral dos momentos angulares dos elementos de massa:
\mathbf{L}=\int \mathbf{r}\times \mathbf{v}\, dm.
Esta equação vetorial é válida sempre (desde que os vetores sejam medidos num referencial inercial ou lidando corretamente com referências não-inerciais).

Passo 3

Caso 1 — massa e distribuição de massa constantes (corpo rígido): derivação e interpretação.
  1. Definição de momento de inércia para rotação em torno de um eixo (ou de um eixo principal): para um corpo rígido,
I=\int r^2\, dm,
onde r é a distância de cada elemento de massa dm ao eixo de rotação. Para um sistema de partículas discretas isso vira I=\sum m_i r_i^2. Para um ponto de massa m a distância r do eixo, I=m r^2.
  1. Para um corpo rígido que gira em torno desse eixo com velocidade angular \boldsymbol{\omega}, cada elemento tem velocidade linear \mathbf{v}=\boldsymbol{\omega}\times\mathbf{r}. O momento angular total ao longo do eixo (quando \boldsymbol{\omega} é paralelo ao eixo principal e a geometria é adequada) reduz-se à forma escalar familiar:
\mathbf{L}=I\,\boldsymbol{\omega}.
Aqui é importante: essa forma vetorial simples vale quando se escolhe um eixo principal (ou para rotações em torno de um eixo fixo com simetria adequada) de modo que I seja um escalar para aquele eixo; caso geral de corpo não-simétrico há tensores de inércia, mas para a maioria dos exercícios básicos usa-se I escalar.
  1. Se a massa e a distribuição são constantes, então I é constante no tempo. Aplicando a forma geral \boldsymbol{\tau}_{\rm net}=d\mathbf{L}/dt e usando \mathbf{L}=I\boldsymbol{\omega} com I constante:
\boldsymbol{\tau}_{\rm net}=\frac{d}{dt}\bigl(I\boldsymbol{\omega}\bigr)=I\frac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}=I\boldsymbol{\alpha}.
Esta é a forma usual que aparece nas aulas: torque resultante igual momento de inércia vezes aceleração angular. Interpretação:
  • \boldsymbol{\tau}_{\rm net} e \boldsymbol{\alpha} são vetores com a mesma direção (no caso uniaxial).
  • Para problemas de prova: calcule I (somando/integrando m r^2), calcule \boldsymbol{\alpha}=\dot{\boldsymbol{\omega}} e então \boldsymbol{\tau}=I\boldsymbol{\alpha}.
Exemplo rápido e concreto (mini-aula):
  • Dois pontos de massa m fixos em uma haste leve, a distâncias r e -r. Então I= m r^2 + m r^2 = 2 m r^2.
  • Se se aplica torque \tau constante, então a aceleração angular é \alpha=\tau/I. Em prova, não precisa de calculadora se I for dado por expressão simples.

Passo 4

Caso 2 — distribuição de massa varia no tempo (mas sem troca de massa com o entorno): dedução e significado físico.
Situação: a massa total M do corpo permanece a mesma, mas a distribuição muda com o tempo (elementos de massa movem-se internamente em relação ao eixo), portanto I=I(t).
  1. Partimos da forma geral:
\boldsymbol{\tau}_{\rm net}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}.
Se a orientação do eixo é tal que \mathbf{L}=I(t)\,\boldsymbol{\omega}(t) (a forma escalar-vetorial continua válida), então ao derivar produto:
\boldsymbol{\tau}_{\rm net}=\frac{d}{dt}\bigl(I(t)\,\boldsymbol{\omega}(t)\bigr)=I(t)\,\dot{\boldsymbol{\omega}}(t)+\dot{I}(t)\,\boldsymbol{\omega}(t).
Escrevendo de forma mais direta:
\boldsymbol{\tau}_{\rm net}=I(t)\,\boldsymbol{\alpha} + \dot{I}(t)\,\boldsymbol{\omega}.
  1. Interpretação física do termo extra \dot{I}(t)\,\boldsymbol{\omega}:
  • Esse termo existe porque, mesmo que a velocidade angular \boldsymbol{\omega} seja constante, a mudança na distribuição (variação de I) altera o momento angular \mathbf{L}. Para que \mathbf{L} mude é preciso um torque externo; esse torque adicional aparece como \dot{I}\,\boldsymbol{\omega}.
  • Se não há torque externo ( \boldsymbol{\tau}_{\rm net}=0), então \frac{d}{dt}\bigl(I\boldsymbol{\omega}\bigr)=0 e portanto I\boldsymbol{\omega}= constante: a quantidade I\omega é conservada. Este é o princípio usado no exemplo clássico do patinador artístico: ao aproximar os braços (reduzir I), a velocidade angular \omega aumenta para manter I\omega constante.
  1. Exemplo numérico simples de aplicação sem cálculo pesado:
  • Se inicialmente I_1 e \omega_1, depois a pessoa puxa os braços e passa para I_2 sem torques externos, então \omega_2=\dfrac{I_1}{I_2}\,\omega_1. Esta conclusão vem direto de conservação do momento angular (caso \boldsymbol{\tau}_{\rm net}=0).
Observação prática: quando resolver um problema de prova e a descrição diz que o corpo “encolhe” ou “redistribui massa” mas não fala em perda de massa, use a fórmula com \dot{I} (ou conserve I\omega se \tau_{\rm net}=0). Se o problema pedir torque necessário para produzir certa variação de \omega enquanto I muda, use \boldsymbol{\tau}_{\rm net}=I\alpha+\dot{I}\omega.

Passo 5

Caso especial: variação da massa total — entrada/saída de massa (sistemas abertos). como tratar corretamente.
Quando massa é adicionada ou expelida (por exemplo, um foguete que ejeta massa, ou areia saindo de um tambor girante), a situação fica mais delicada porque o sistema pode trocar massa e, com isso, trocar momento angular com o ambiente. A regra geral continua sendo a forma fundamental:
\boldsymbol{\tau}_{\rm net}=\frac{d\mathbf{L}_{\rm sistema}}{dt},
onde \mathbf{L}_{\rm system} é o momento angular do conjunto de partículas que, no instante considerado, pertencem ao sistema. Se massa sai ou entra, \dfrac{d\mathbf{L}_{\rm system}}{dt} tem duas contribuições:
  • a variação do momento angular da massa que permanece (termo semelhante a I\dot{\omega}+\dot{I}\omega);
  • mais um termo devido ao fluxo de momento angular através da fronteira (a massa que sai leva momento angular com ela ou a massa que entra traz momento angular).
Em linguagem de mecânica de contínua/controle de volume, pode escrever:
\boldsymbol{\tau}_{\rm ext}=\frac{d}{dt}\int_V \mathbf{r}\times \rho\mathbf{v}\, dV + \oint_{\partial V} \mathbf{r}\times \rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n})\, dS,
onde o segundo termo é o fluxo de momento angular pela superfície \partial V. Não é necessário decorar essa forma para exercícios básicos, mas é bom saber o conceito: massa que sai leva seu \mathbf{r}\times\mathbf{v} e isso afeta a variação total de \mathbf{L}.
Regras práticas para provas:
  • Se sistema é fechado (sem troca de massa com exterior): aplicar \boldsymbol{\tau}_{\rm net}=d\mathbf{L}/dt e, se adicionalmente \mathbf{L}=I(t)\omega, usar a forma com \dot{I}.
  • Se massa é expelida/absorvida: inclua o efeito do fluxo de momento angular (normalmente o enunciado dá as velocidades e localizações da massa expelida; aí calcula-se a perda de \mathbf{L} por essa massa e aplica conservação/global de \mathbf{L} conforme necessário). Se não houver torques externos e considerar corpo + jato (sistema total), o momento angular total se conserva.
Exemplo qualitativo: tambor girando com areia que vaza radialmente para fora. A areia que sai leva momento angular; se não houver torque externo, a roda+restante de areia têm momento angular que muda por conta dessa perda — a velocidade angular pode reduzir mais do que o caso só de \dot{I} interno.

Passo 6

Resumo prático de como proceder em uma prova (passo-a-passo):
  1. Identifique se o sistema é fechado em massa (a massa total muda?) e se a distribuição muda internamente.
  2. Use a forma geral:
\boldsymbol{\tau}_{\rm net}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}.
  1. Se for corpo rígido com I constante, aplique
\boldsymbol{\tau}_{\rm net}=I\boldsymbol{\alpha}.
  1. Se I=I(t) porque a distribuição muda mas a massa total é constante (rede interna), use
\boldsymbol{\tau}_{\rm net}=I(t)\,\boldsymbol{\alpha} + \dot{I}(t)\,\boldsymbol{\omega}.
  1. Se há troca de massa com o ambiente, escreva a equação de balanço do momento angular incluindo o termo de fluxo de momento angular; se não houver torques externos, verifique se é possível aplicar conservação do momento angular ao sistema ampliado (incluindo a massa ejetada).
  2. Cheque unidades e direções vetoriais (torque e \alpha têm direção determinada pela regra da mão direita).

Passo 7

Observações finais e dicas de entendimento (pra te acalmar e prender o conceito):
  • Pense em \mathbf{L} como a “versão rotacional” do impulso linear \mathbf{p}. Torque muda \mathbf{L} assim como força muda \mathbf{p}.
  • O termo \dot{I}\,\omega aparece sempre que a distribuição muda: é o preço que se paga por mudar o “braço de alavanca” das massas.
  • Quando não há torques externos, o que importa é: o momento angular total do sistema (incluindo o que sai/entra) é conservado.
  • Exemplos famosos para lembrar: patinador (redistribuição interna, massa constante) e foguete (variação de massa com efluxo).

Resposta

\boldsymbol{\tau}_{\rm net}=\dfrac{d\mathbf{L}}{dt}.
Para corpo rígido (massa e distribuição constantes):
\boldsymbol{\tau}_{\rm net}=I\,\boldsymbol{\alpha}.
Para distribuição variável (massa total constante, I=I(t)):
\boldsymbol{\tau}_{\rm net}=I(t)\,\boldsymbol{\alpha}+\dot{I}(t)\,\boldsymbol{\omega}=\dfrac{d}{dt}\bigl(I(t)\,\boldsymbol{\omega}\bigr).
Para variação da massa total (massa entrando/saindo): usar \boldsymbol{\tau}_{\rm net}=d\mathbf{L}_{\rm system}/dt e incluir o termo de fluxo de momento angular devido à massa que cruza a fronteira (ou então aplicar conservação do momento angular ao sistema fechado total incluindo a massa expelida).

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