Sabendo que as Equações Diferenciais abaixo não são Exatas, encontre os Fatores de Integração
y d x+\left(2 x y-e^{-2 y}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y\,dx + \bigl(2xy - e^{-2y}\bigr)\,dy = 0
Ela não é exata, pois precisamos de um fator de integração \mu(x) ou \mu(y) para torná-la exata. O conteúdo envolve testar exatidão e usar a fórmula dos fatores de integração que dependem somente de x ou somente de y.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=y, \quad N(x,y)=2xy - e^{-2y}.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2y.
Como 1 \neq 2y, a equação não é exata.

Passo 3

Testamos primeiro um fator \mu(x). A condição é que
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{1-2y}{2xy - e^{-2y}}
deva depender só de x. Mas esse quociente ainda envolve y, então não há \mu(x).

Passo 4

Agora testamos um fator \mu(y). A condição é que
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{2y-1}{y} =2 - \frac{1}{y}
seja função apenas de y. E de fato depende só de y, logo existe um \mu(y).

Passo 5

Calculamos
\mu(y) =\exp\!\Bigl(\int\bigl(2-\tfrac1y\bigr)\,dy\Bigr) =\exp\bigl(2y-\ln y\bigr) =\frac{e^{2y}}{y}.

Resposta

O fator de integração que torna a equação exata é
\mu(y)=\frac{e^{2y}}{y}.

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