Sabendo que as Equações Diferenciais abaixo não são Exatas, encontre os Fatores de Integração
\left(y \ln y+y e^{x}\right) d x+(x+y \cos y) d y=0, \quad y>0

Passo 1

Temos a equação diferencial
\bigl(y\ln y + y e^{x}\bigr)\,dx + \bigl(x + y\cos y\bigr)\,dy = 0,
com y>0. Aqui M(x,y)=y\ln y + y e^{x} e N(x,y)=x+y\cos y. Como não é exata, vamos buscar um fator de integração que dependa só de x ou só de y.

Passo 2

Verificamos a não exatidão calculando
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\ln y + y e^{x}\bigr) =\ln y + 1 + e^{x},
e
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x + y\cos y) =1.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, não é exata.

Passo 3

Testamos um fator de integração \mu(x): a condição seria
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} \quad\text{depender apenas de \(x\).}
Aqui
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x} {N} =\frac{(\ln y+1+e^{x})-1}{\,x+y\cos y\,} =\frac{\ln y+e^{x}}{x+y\cos y},
que depende de y. Logo não existe \mu(x).

Passo 4

Testamos um fator de integração \mu(y): a condição é
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} \quad\text{depender apenas de \(y\).}
Calculamos
\frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} =\frac{1-(\ln y+1+e^{x})}{y\ln y + y e^{x}} =\frac{-\ln y - e^{x}}{y(\ln y+e^{x})} =-\frac1y,
que de fato depende só de y.

Passo 5

Como
\frac{d\ln\mu}{dy} =-\frac1y,
integramos para obter
\ln\mu(y)=-\ln y + C \quad\Longrightarrow\quad \mu(y)=\frac{1}{y}
(desprezando a constante de normalização).

Resposta

\displaystyle \mu(y)=\frac1y.

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