1. Sabendo que o erro gráfico em qualquer escala é de 0,2 \mathrm{~mm}, comprove se uma edificação de 50 m de comprimento (reais) pode ser representada em uma carta na escala 1:100.000.

Passo 1

O enunciado pede que se verifique se uma edificação de 50\\ \mathrm{m} de comprimento (no terreno) pode ser representada em uma carta na escala 1\!:\!100\,000, sabendo que o erro gráfico em qualquer escala é de 0,2\\ \mathrm{mm}.
Informações dadas:
  • Comprimento real da edificação: 50\\ \mathrm{m}.
  • Escala da carta: 1\!:\!100\,000.
  • Erro gráfico na carta (em qualquer escala): 0,2\\ \mathrm{mm}.
O que precisa ser verificado: comparar o comprimento da edificação representado na carta com o erro gráfico e também avaliar a implicação desse erro em termos reais.

Passo 2

Entender como passar do comprimento real para o comprimento na carta.
Regra (fórmula): o comprimento na carta L_c é o comprimento real L_r dividido pelo denominador da escala. Escrevendo em fórmula:
L_c=\dfrac{L_r}{\text{escala}},
onde
  • L_c é o comprimento na carta (mesma unidade que L_r dividida pela escala),
  • L_r é o comprimento real no terreno,
  • \text{escala} é o número do denominador (aqui 100\,000).
Observação sobre unidades: para trabalhar comodamente com o erro gráfico dado em milímetros, converto o comprimento real para milímetros usando 1\\ \mathrm{m}=1000\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Converter o comprimento real para milímetros e calcular o comprimento na carta.
Primeiro converto L_r:
L_r=50\\ \mathrm{m}=50\cdot1000\\ \mathrm{mm}=50\,000\\ \mathrm{mm}.
Agora aplico a fórmula da escala:
L_c=\dfrac{50\,000\\ \mathrm{mm}}{100\,000}=0{,}5\\ \mathrm{mm}.
Interpretação simples: na carta à escala 1\!:\!100\,000 a edificação de 50\\ \mathrm{m} ficará representada por 0{,}5\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Comparar o comprimento na carta com o erro gráfico disponível.
Dado: erro gráfico na carta é 0{,}2\\ \mathrm{mm}.
Comparação direta:
L_c=0{,}5\\ \mathrm{mm} \quad\text{e}\quad \text{erro gráfico}=0{,}2\\ \mathrm{mm}.á
Como 0{,}5\\ \mathrm{mm}>0{,}2\\ \mathrm{mm}, a edificação tem dimensão na carta maior que o erro gráfico absoluto, ou seja, ela pode ser desenhada (não fica abaixo do limite mínimo do traço/erro).

Passo 5

Converter o erro gráfico da carta para o terreno (erro real correspondente).
Regra: erro real E_r = erro na carta E_c multiplicado pelo denominador da escala:
E_r = E_c \times \text{escala}.
Aplicando com E_c=0{,}2\\ \mathrm{mm} e \text{escala}=100\,000:
E_r = 0{,}2\\ \mathrm{mm}\times100\,000 = 20\,000\\ \mathrm{mm}.
Convertendo para metros:
20\,000\\ \mathrm{mm}=20\\ \mathrm{m}.
Isso significa que a incerteza geométrica associada a 0{,}2\\ \mathrm{mm} na carta corresponde a \pm 20\\ \mathrm{m} no terreno.

Passo 6

Avaliar a qualidade da representação (interpretação prática).
A edificação tem 50\\ \mathrm{m} no terreno e será desenhada com 0{,}5\\ \mathrm{mm} na carta. O erro real correspondente a 0{,}2\\ \mathrm{mm} é 20\\ \mathrm{m}.
Cálculo do erro relativo (percentual) sobre o comprimento da edificação:
\text{erro relativo}=\dfrac{20\\ \mathrm{m}}{50\\ \mathrm{m}}\times100\% = 40\%.
Interpretação: embora a edificação possa ser desenhada porque seu tamanho na carta ( 0{,}5\\ \mathrm{mm}) é maior que o erro gráfico ( 0{,}2\\ \mathrm{mm}), a incerteza associada ( \pm20\\ \mathrm{m}) é grande em relação ao comprimento real ( 50\\ \mathrm{m}) — o que dá uma imprecisão de 40\%. Em termos práticos, isso pode tornar a representação pouco fiável para uso detalhado (por exemplo, posicionamento exato), apesar de possível graficamente.

Resposta

Sim. O comprimento na carta é 0{,}5\\ \mathrm{mm}, que é maior que o erro gráfico de 0{,}2\\ \mathrm{mm}, portanto a edificação pode ser representada na escala 1\!:\!100\,000.
Erro gráfico correspondente no terreno: 20\\ \mathrm{m} (incerteza \pm20\\ \mathrm{m}, ou 40\% do comprimento de 50\\ \mathrm{m}).

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