1. Em uma carta na escala 1:50.000 a distância entre dois pontos \mathbf{A} e \mathbf{B} é indicada por 12,0 \mathrm{~cm}. Em uma outra carta, cuja escala desconhecemos, para essa mesma distância encontramos 24,0 \mathrm{~cm}. Determine a escala dessa carta:

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Escala da primeira carta: 1:50{,}000.
  • Nessa primeira carta, a distância entre A e B é 12{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Numa segunda carta (escala desconhecida 1:x), a mesma distância real aparece como 24{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Pedem: determinar a escala desconhecida 1:x dessa segunda carta (ou seja, encontrar x).

Passo 2

Entendendo o significado de escala e a relação que vamos usar:
  • Uma escala 1:n significa que 1\\ \mathrm{cm} no mapa corresponde a n\\ \mathrm{cm} na realidade.
  • Se d_{\text{map}} é a distância medida no mapa e n é o denominador da escala, então a distância real D (em \mathrm{cm}) é
D = d_{\text{map}}\cdot n.
  • Aplicando isso à primeira carta: d_{\text{map},1}=12{,}0\\ \mathrm{cm} e n_1=50{,}000, logo
D = 12{,}0\cdot50{,}000\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

Calcular a distância real usando a primeira carta e converter para unidades mais familiares:
D = 12{,}0\cdot50{,}000 = 600{,}000\\ \mathrm{cm}.
Converter para metros e quilômetros:
600{,}000\\ \mathrm{cm} = \frac{600{,}000}{100}\\ \mathrm{m} = 6{,}000\\ \mathrm{m} = 6\\ \mathrm{km}.
(essa conversão é só para intuição; podemos continuar em \mathrm{cm} sem problema.)

Passo 4

Usar a segunda carta para relacionar x com a mesma distância real:
  • Na segunda carta d_{\text{map},2}=24{,}0\\ \mathrm{cm} e a escala é 1:x, portanto
D = 24{,}0\cdot x.
  • Igualando com o D obtido antes:
24{,}0\cdot x = 600{,}000.

Passo 5

Resolver a equação para x:
x = \frac{600{,}000}{24{,}0}.
Uma forma mais direta (usando a relação entre os mapas) é
x = 50{,}000\cdot\frac{12{,}0}{24{,}0} = 50{,}000\cdot\frac{1}{2} = 25{,}000.

Passo 6

Verificação rápida: multiplicando 24{,}0\\ \mathrm{cm} por 25{,}000 obtém-se 600{,}000\\ \mathrm{cm} (os mesmos 6\\ \mathrm{km}), portanto o resultado está consistente. Dica prática para prova: para a mesma distância real, os denominadores das escalas são inversamente proporcionais às distâncias medidas nos mapas (quanto maior a medida no mapa, menor o denominador da escala).

Resposta

1:25{,}000

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