Sabendo que f(5+2 x)+f\left(2 x^{2}+1\right)=4 x^{2}+4 x+2 determine f^{\prime}(3).

Passo 1

O enunciado diz que a função f satisfaz
f(5+2x) + f(2x^2+1) = 4x^2 + 4x + 2
e pede f'(3). Este é um problema de diferenciação implícita de funções compostas, em que vamos usar a regra da cadeia para obter uma relação envolvendo f'.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados em relação a x, aplicamos a regra da cadeia:
– Para f(5+2x) surge f'(5+2x)\cdot2.
– Para f(2x^2+1) surge f'(2x^2+1)\cdot4x.
No lado direito, \tfrac{d}{dx}(4x^2+4x+2)=8x+4. Assim:
2\,f'(5+2x) + 4x\,f'(2x^2+1) = 8x + 4.

Passo 3

Para obter f'(3), escolhemos x tal que ambas as composições valham 3. Da equação
5 + 2x = 3
vem x = -1, e então 2x^2 + 1 = 2\cdot1 +1 = 3. Substituindo x=-1 na relação derivada:
2\,f'(3) + 4(-1)\,f'(3) = 8(-1) + 4,
isto é,
2f'(3) - 4f'(3) = -8 + 4 = -4.

Passo 4

Reescrevendo a equação:
-2\,f'(3) = -4
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f'(3) = 2.

Resposta

f'(3) = 2

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