Dada a função f(x)=x^{2}+4 x-2 determine \left(f^{-1}\right)^{\prime}(f(x)) e \left(f^{-1}\right)^{\prime}(f(2)).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{2}+4x-2
e pede para calcular \bigl(f^{-1}\bigr)'(f(x)) e, em particular, \bigl(f^{-1}\bigr)'(f(2)). O conteúdo que vamos usar é a derivada de uma função inversa: se y=f(x) e f é diferenciável e invertível numa vizinhança, então
\bigl(f^{-1}\bigr)'(y)=\frac{1}{f'(x)}.

Passo 2

Vamos primeiro calcular a derivada de f. Como
f(x)=x^{2}+4x-2,
temos
f'(x)=2x+4.

Passo 3

Aplicando a fórmula da derivada da inversa, com y=f(x), obtemos
\bigl(f^{-1}\bigr)'(f(x)) =\frac{1}{f'(x)} =\frac{1}{2x+4}.

Passo 4

Para x=2, basta substituir em \tfrac{1}{2x+4}:
\bigl(f^{-1}\bigr)'(f(2)) =\frac{1}{2\cdot2+4} =\frac{1}{8}.

Resposta

\displaystyle \bigl(f^{-1}\bigr)'(f(x))=\frac{1}{2x+4}
\displaystyle \bigl(f^{-1}\bigr)'(f(2))=\frac{1}{8}

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