Sabendo que
, obtenha o comportamento da pressão em função da altura para fluidos compressíveis, considerando a seguinte dependência da temperatura com a altura
Considere o caso dos gases ideais, cuja equação de estado é,
.
(Dicas: Lembre das propriedades da função ln;
, escreva
em termos da massa
para achar a densidade.)
(Dicas: Lembre das propriedades da função ln;
Passo 1
O enunciado pede para achar a variação da pressão com a altura em um fluido compressível, usando a equação de equilíbrio hidrostático
e considerando gás ideal, cuja equação de estado é
e uma taxa de variação linear da temperatura com a altitude,
Para resolver, precisamos (1) expressar a densidade
em termos de
e
via gás ideal, (2) usar a lei de variação de
e (3) integrar a equação diferencial resultante.
Passo 2
Do gás ideal temos
(onde
é a massa molar) e, portanto, a densidade
Como
, isolamos
:
Passo 3
Substituindo
em
, obtemos
Passo 4
Integramos a lei de variação da temperatura
onde
é a temperatura na cota
.
Passo 5
Substituímos
na equação para
e separamos variáveis:
Para integrar, note a substituição
,
. Então
Passo 6
Fazendo as integrais,
Exponenciando, chega-se a