Sabendo que \frac{d P}{d z}=-\rho g, obtenha o comportamento da pressão em função da altura para fluidos compressíveis, considerando a seguinte dependência da temperatura com a altura
\frac{d T}{d z}=-\xi
Considere o caso dos gases ideais, cuja equação de estado é, P V=n R T.
(Dicas: Lembre das propriedades da função ln; \int \frac{d x}{x}=\ln x+C ; \int x^{n} d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, escreva n em termos da massa m para achar a densidade.)

Passo 1

O enunciado pede para achar a variação da pressão com a altura em um fluido compressível, usando a equação de equilíbrio hidrostático
\frac{dP}{dz}=-\rho\,g
e considerando gás ideal, cuja equação de estado é
P\,V = n\,R\,T
e uma taxa de variação linear da temperatura com a altitude,
\frac{dT}{dz}=-\xi.
Para resolver, precisamos (1) expressar a densidade \rho em termos de P e T via gás ideal, (2) usar a lei de variação de T(z) e (3) integrar a equação diferencial resultante.

Passo 2

Do gás ideal temos n = m_{\rm massa}/M (onde M é a massa molar) e, portanto, a densidade
\rho = \frac{\text{massa}}{V} = \frac{n\,M}{V}.
Como P\,V = n\,R\,T, isolamos \rho:
P = \frac{n\,R\,T}{V} \quad\Longrightarrow\quad \rho = \frac{n\,M}{V} = \frac{P\,M}{R\,T}.

Passo 3

Substituindo \rho em \frac{dP}{dz}=-\rho\,g, obtemos
\frac{dP}{dz} = -\frac{P\,M}{R\,T}\;g \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{P}\,\frac{dP}{dz} = -\frac{M\,g}{R}\,\frac{1}{T}.

Passo 4

Integramos a lei de variação da temperatura
\frac{dT}{dz} = -\xi \quad\Longrightarrow\quad T(z) = T_0 - \xi\,z,
onde T_0 é a temperatura na cota z=0.

Passo 5

Substituímos T(z) na equação para P e separamos variáveis:
\frac{dP}{P} = -\frac{M\,g}{R}\,\frac{dz}{T_0 - \xi\,z}.
Para integrar, note a substituição u = T_0 - \xi\,z, du = -\xi\,dz. Então
\int_{P_0}^{P}\frac{dP'}{P'} = -\frac{M\,g}{R}\int_{0}^{z}\frac{dz'}{T_0 - \xi\,z'} = -\frac{M\,g}{R}\biggl(-\frac{1}{\xi}\biggr) \int_{T_0}^{T_0 - \xi\,z}\frac{du}{u}.

Passo 6

Fazendo as integrais,
\ln\!\biggl(\frac{P}{P_0}\biggr) = \frac{M\,g}{R\,\xi} \ln\!\biggl(\frac{T_0 - \xi\,z}{T_0}\biggr).
Exponenciando, chega-se a
\frac{P}{P_0} = \biggl(\frac{T_0 - \xi\,z}{T_0}\biggr)^{\frac{M\,g}{R\,\xi}}.

Resposta

P(z) = P_0\, \biggl(\frac{T_0 - \xi\,z}{T_0}\biggr)^{\frac{M\,g}{R\,\xi}}.

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