Sabendo-se que
, determine a expressão do campo
em notação fasorial em um meio material onde
e
. Determine também: a velocidade da onda no meio, a impedância intrínseca e esboce um gráfico para representar
e
em um sistema de coordenadas cartesiano. Mostre no gráfico em que sentido a onda se propaga.
Passo 1
O enunciado dá o campo magnético no domínio do tempo e pede a expressão do campo elétrico em notação fasorial, além da velocidade da onda, da impedância intrínseca do meio e de um esboço que mostre a direção de propagação. Dados fornecidos:
- Campo magnético no tempo:
[mA/m]. - Perceba que a amplitude indicada é
mA/m (miliampere por metro). - Propriedades do meio:
. - O que se pede:
- Expressão do campo
em notação fasorial (phasor). - Velocidade da onda no meio.
- Impedância intrínseca do meio.
- Esboço de
e num sistema cartesiano e indicação do sentido de propagação.
- Expressão do campo
Passo 2
Primeiro converto e identifico parâmetros básicos (aqui explico as fórmulas usadas, passo a passo).
-
Converter amplitude para unidades SI (ampère por metro):
. -
A frequência angular
é o coeficiente de na fase: Explicação:é a razão entre a variação temporal da fase por segundo; aparece no seno como . -
A constante de fase espacial
é o coeficiente de na fase: Explicação:é o número de onda; relaciona variação espacial da fase. -
Conversão da onda senoidal para fasor. Regra prática (usada muito em E-M): uma função real
pode ser representada por um fasor complexo tal que a parte real (ou a transformada correspondente) reconstrói a onda temporal. Uma maneira direta é usar a identidade Assim, a amplitude fasorial (dependendo da convenção de tempo) para é Observação: escrevi o fator espacialexplicitamente no fasor para deixar claro a dependência em . Em notação de módulo/fase isto é .
Passo 3
Calcular as propriedades eletromagnéticas do meio (explicando as fórmulas).
-
Permeabilidade:Aqui
. -
Permissividade:Aqui
. -
Velocidade da onda no meio. Fórmula geral para meio não condutor:Como
e , usando , obtemos Comentário didático: a presença dereduz a velocidade para da velocidade no vácuo. -
Verificação rápida com
: que coincide com odado no enunciado (boa consistência).
Passo 4
Impedância intrínseca do meio (explicação e cálculo).
- Fórmula geral (meio linear, sem condutividade ou
): Em termos da impedância do vácuo , tem-se Como e , Calculando numericamente: Dica prática: a impedância relaciona amplitudes de campo elétrico e magnético (em módulos) por em ondas planares no meio sem perdas.
Passo 5
Relação vetorial entre
e
e cálculo do fasor de
.
-
Regra vetorial para onda plana que se propaga na direção
(unidade): a relação pode ser escrita como Essa fórmula garante queformem um triângulo ortogonal (regra da mão direita) e que o fluxo de energia (vetor de Poynting) tenha o sentido de . -
Inversamente, isolando
: Explicação curta do sinal: esta forma assegura que a direção deseja a direção de propagação (a conta vetorial confirma o sinal). -
No nosso caso a direção de propagação é
, e . Faço o produto vetorial: EntãoDesenvolvendo o sinal:Portanto, numericamente com(usei ): Arredondando razoavelmente:Como, podemos também escrever -
Comentário sobre fase e amplitude:
- O fato de aparecer
no fasor de significa que está defasado de em relação à referência de fase usada para converter o seno original (e é coerente com a relação vetorial com ). - Em módulo:
.
- O fato de aparecer
Passo 6
Esboço qualitativo e indicação do sentido de propagação (explicando como pensar o gráfico).
-
Configuração vetorial:
- Eixos cartesianos:
para , para , para . - Campo magnético
está orientado em (com dependência senoidal ao longo de e ). - Campo elétrico
está orientado em (positivo em quando a fase permitir). - A onda se propaga no sentido
(porque a fase é : para aumentar mantendo fase constante, deve aumentar — sinal típico de propagação no sentido ).
- Eixos cartesianos:
-
Esboço (representação textual simples — imagine o eixo horizontal sendo
, o eixo vertical sendo amplitude dos campos; duas curvas seno deslocadas em fase espacialmente iguais porque compartilham ). Exemplo ASCII estilizado: z →
amplitude
|E (y) : ~ ~~~~ (seno ao longo de z, orientado em y)H (x) : ~~~ ~~~ ~~~ (seno ao longo de z, orientado em x) |
±-------------------------------- No desenho acima: os picos de
apontam ao longo de ; os picos de apontam ao longo de . - Uma seta ao longo do eixo
para a direita indica o sentido de propagação .
- No desenho acima: os picos de
-
Regra prática visual: usar a mão direita: polegar para
(+z), indicador para (+y), médio para (+x) — essas três direções obedecem à regra da mão direita (atenção ao sinal: a convenção vetorial usada garante consistência). Aqui, de fato, , então para obter energia no sentido precisamos do sinal que encontramos no fasor (o fator e o sinal introduzido pela fórmula garantem a orientação correta).