Sabendo-se que H=30 \cdot \sin \left(2 \cdot \pi 10^{8} \cdot t-2 \cdot \pi \cdot z\right) \hat{\boldsymbol{i}}[\mathrm{mA} / \mathrm{m}], determine a expressão do campo E em notação fasorial em um meio material onde \mu_{r}=1, \varepsilon_{r}=9 e \sigma=0 [\mathrm{S} / \mathrm{m}]. Determine também: a velocidade da onda no meio, a impedância intrínseca e esboce um gráfico para representar E e H em um sistema de coordenadas cartesiano. Mostre no gráfico em que sentido a onda se propaga.

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético no domínio do tempo e pede a expressão do campo elétrico em notação fasorial, além da velocidade da onda, da impedância intrínseca do meio e de um esboço que mostre a direção de propagação. Dados fornecidos:
  • Campo magnético no tempo: H(t)=30\cdot\sin\!\bigl(2\pi 10^{8}\,t-2\pi\,z\bigr)\,\hat{\imath} [mA/m].
  • Perceba que a amplitude indicada é 30 mA/m (miliampere por metro).
  • Propriedades do meio: \mu_{r}=1,\\ \varepsilon_{r}=9,\\ \sigma=0\\ \mathrm{S/m}.
  • O que se pede:
    1. Expressão do campo E em notação fasorial (phasor).
    2. Velocidade da onda no meio.
    3. Impedância intrínseca do meio.
    4. Esboço de E e H num sistema cartesiano e indicação do sentido de propagação.

Passo 2

Primeiro converto e identifico parâmetros básicos (aqui explico as fórmulas usadas, passo a passo).
  • Converter amplitude para unidades SI (ampère por metro): 30\\ \text{mA/m}=0{,}03\\ \mathrm{A/m}.
  • A frequência angular \omega é o coeficiente de t na fase:
    \omega = 2\pi\cdot 10^{8}\\ \mathrm{rad/s}.
    Explicação: \omega é a razão entre a variação temporal da fase por segundo; aparece no seno como \sin(\omega t - kz).
  • A constante de fase espacial k é o coeficiente de z na fase:
    k = 2\pi\\ \mathrm{rad/m}.
    Explicação: k é o número de onda; relaciona variação espacial da fase.
  • Conversão da onda senoidal para fasor. Regra prática (usada muito em E-M): uma função real a\sin(\omega t - kz) pode ser representada por um fasor complexo \tilde{A} e^{-jkz} tal que a parte real (ou a transformada correspondente) reconstrói a onda temporal. Uma maneira direta é usar a identidade
    \sin(\theta)=\operatorname{Re}\{-j e^{j\theta}\}.
    Assim, a amplitude fasorial (dependendo da convenção de tempo e^{j\omega t}) para H é
    \tilde{H}(z)=0{,}03\cdot(-j)\,e^{-j k z}\,\hat{\imath}\\ \mathrm{A/m}.
    Observação: escrevi o fator espacial e^{-j k z} explicitamente no fasor para deixar claro a dependência em z. Em notação de módulo/fase isto é \tilde{H}(z)=0{,}03\angle{-90^\circ}\,e^{-j k z}\hat{\imath}.

Passo 3

Calcular as propriedades eletromagnéticas do meio (explicando as fórmulas).
  • Permeabilidade:
    \mu=\mu_r\mu_0 = 1\cdot\mu_0=\mu_0.
    Aqui \mu_0\approx 4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}.
  • Permissividade:
    \varepsilon=\varepsilon_r\varepsilon_0 = 9\cdot\varepsilon_0.
    Aqui \varepsilon_0\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.
  • Velocidade da onda no meio. Fórmula geral para meio não condutor:
    v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}.
    Como \mu=\mu_0 e \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r, usando c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\approx 3\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s}, obtemos
    v=\frac{c}{\sqrt{\varepsilon_r}}=\frac{3\cdot10^{8}}{\sqrt{9}}= \frac{3\cdot10^{8}}{3}=1\cdot10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
    Comentário didático: a presença de \varepsilon_r=9 reduz a velocidade para 1/3 da velocidade no vácuo.
  • Verificação rápida com k=\omega/v:
    k=\frac{\omega}{v}=\frac{2\pi\cdot10^{8}}{1\cdot10^{8}}=2\pi\\ \text{rad/m},
    que coincide com o k dado no enunciado (boa consistência).

Passo 4

Impedância intrínseca do meio (explicação e cálculo).
  • Fórmula geral (meio linear, sem condutividade ou \sigma=0): \eta=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}.Em termos da impedância do vácuo \eta_{0}=\sqrt{\mu_0/\varepsilon_0}\approx 120\pi\approx 377\\ \Omega, tem-se \eta=\eta_{0}\sqrt{\frac{\mu_r}{\varepsilon_r}}=\eta_{0}\frac{\sqrt{\mu_r}}{\sqrt{\varepsilon_r}}.Como \mu_r=1 e \varepsilon_r=9, \eta=\frac{\eta_{0}}{3}.Calculando numericamente: \eta=\frac{377}{3}\approx 125{,}7\\ \Omega.Dica prática: a impedância relaciona amplitudes de campo elétrico e magnético (em módulos) por |\tilde{E}|= \eta\,|\tilde{H}| em ondas planares no meio sem perdas.

Passo 5

Relação vetorial entre \tilde{E} e \tilde{H} e cálculo do fasor de \tilde{E}.
  • Regra vetorial para onda plana que se propaga na direção \hat{k} (unidade): a relação pode ser escrita como
    \tilde{H}=\frac{1}{\eta}\,\hat{k}\times\tilde{E}.
    Essa fórmula garante que \tilde{E},\tilde{H},\hat{k} formem um triângulo ortogonal (regra da mão direita) e que o fluxo de energia (vetor de Poynting) tenha o sentido de \hat{k}.
  • Inversamente, isolando \tilde{E}:
    \tilde{E}=-\eta\,\hat{k}\times\tilde{H}.
    Explicação curta do sinal: esta forma assegura que a direção de \operatorname{Re}\{\tilde{E}e^{j\omega t}\}\times\operatorname{Re}\{\tilde{H}e^{j\omega t}\} seja a direção de propagação (a conta vetorial confirma o sinal).
  • No nosso caso a direção de propagação é \hat{k}=\hat{z}, e \tilde{H}(z)=0{,}03(-j)\,e^{-jkz}\,\hat{\imath}. Faço o produto vetorial:
    \hat{z}\times\hat{\imath}=\hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}.
    Então
    \tilde{E}(z)=-\eta\bigl(\hat{z}\times\tilde{H}(z)\bigr) = -\eta\cdot\bigl(0{,}03(-j)\,e^{-jkz}\bigr)\,\hat{y}.
    Desenvolvendo o sinal:
    -\eta\cdot 0{,}03(-j)=\eta\cdot 0{,}03\,j.
    Portanto, numericamente com \eta\approx 125{,}6637\\ \Omega (usei \eta_0=120\pi):
    \eta\cdot 0{,}03 \approx 125{,}6637\times 0{,}03 \approx 3{,}7699\\ \mathrm{(V/m)}.
    Arredondando razoavelmente:
    \tilde{E}(z)=j\,3{,}77\,e^{-j k z}\,\hat{y}\\ \mathrm{V/m}.
    Como k=2\pi\\ \mathrm{rad/m}, podemos também escrever
    \tilde{E}(z)=j\,3{,}77\,e^{-j 2\pi z}\,\hat{y}\\ \mathrm{V/m}.
  • Comentário sobre fase e amplitude:
    • O fato de aparecer j no fasor de \tilde{E} significa que E está defasado de +90^\circ em relação à referência de fase usada para converter o seno original (e é coerente com a relação vetorial com \tilde{H}).
    • Em módulo: |\tilde{E}|=\eta\,|\tilde{H}|=125{,}7\times 0{,}03\approx 3{,}77\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Esboço qualitativo e indicação do sentido de propagação (explicando como pensar o gráfico).
  • Configuração vetorial:
    • Eixos cartesianos: x para \hat{\imath}, y para \hat{\jmath}, z para \hat{k}.
    • Campo magnético H está orientado em +\hat{\imath} (com dependência senoidal ao longo de z e t).
    • Campo elétrico E está orientado em \hat{\jmath} (positivo em +\hat{y} quando a fase permitir).
    • A onda se propaga no sentido +z (porque a fase é \omega t - k z: para aumentar t mantendo fase constante, z deve aumentar — sinal típico de propagação no sentido +z).
  • Esboço (representação textual simples — imagine o eixo horizontal sendo z, o eixo vertical sendo amplitude dos campos; duas curvas seno deslocadas em fase espacialmente iguais porque compartilham e^{-jkz}). Exemplo ASCII estilizado:
    z →
    amplitude
    |
    E (y) : ~~~~~ (seno ao longo de z, orientado em y)
    H (x) : ~~~ ~~~ ~~~ (seno ao longo de z, orientado em x)
    |
    ±-------------------------------
    • No desenho acima: os picos de E apontam ao longo de \hat{y}; os picos de H apontam ao longo de \hat{x}.
    • Uma seta ao longo do eixo z para a direita indica o sentido de propagação +\hat{z}.
  • Regra prática visual: usar a mão direita: polegar para \hat{k} (+z), indicador para \tilde{E} (+y), médio para \tilde{H} (+x) — essas três direções obedecem à regra da mão direita (atenção ao sinal: a convenção vetorial usada garante consistência). Aqui, de fato, \hat{y}\times\hat{x}=-\hat{z}, então para obter energia no sentido +\hat{z} precisamos do sinal que encontramos no fasor (o fator j e o sinal introduzido pela fórmula garantem a orientação correta).

Resposta

\tilde{E}(z)=j\,3{,}77\,e^{-j\,2\pi z}\,\hat{\jmath}\\ \mathrm{V/m}
v=1{,}0\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}
\eta\approx125{,}7\\ \Omega

Exercícios relacionados