Sabendo que \left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right|=5, calcule:
\left|\begin{array}{ccc}a+d & b+e & c+f \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
M = \begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix}
com \det(M)=5, e pede o determinante de
M' = \begin{pmatrix} a+d & b+e & c+f\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix}.
O conteúdo necessário é a propriedade de linearidade do determinante em relação às linhas.

Passo 2

Repare que a primeira linha de M' é a soma da primeira e da segunda linha de M, ou seja,
\text{R1}' = \text{R1} + \text{R2}.
Logo,
\det(M') = \det\bigl(\text{R1}+\text{R2},\,\text{R2},\,\text{R3}\bigr).

Passo 3

Pela linearidade do determinante na primeira linha, temos
\det\bigl(\text{R1}+\text{R2},\,\text{R2},\,\text{R3}\bigr) = \det(\text{R1},\text{R2},\text{R3}) + \det(\text{R2},\text{R2},\text{R3}).
Mas \det(\text{R2},\text{R2},\text{R3})=0 (duas linhas iguais). Portanto
\det(M') = \det(M) + 0 = 5.

Resposta

5

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