Sabendo que \left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\ g & h & i\end{array}\right|=5, calcule: \left|\begin{array}{ccc}2 g & 2 h & 2 i \\\ d-3 a & e-3 b & f-3 c \\\ a & b & c\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado dá a matriz
M = \begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix}
com \det(M)=5, e pede
D = \begin{vmatrix} 2g & 2h & 2i\\\ d-3a & e-3b & f-3c\\\ a & b & c \end{vmatrix}.
O conteúdo aqui é determinante e operações elementares de linhas.
Passo 2
Identificamos as linhas de D como combinações das linhas de M:
Linha 1 de D é 2\,\text{(linha 3 de }M).
Linha 2 de D é \text{(linha 2 de }M)-3\,\text{(linha 1 de }M).
Linha 3 de D é \text{(linha 1 de }M).
Passo 3
Usamos a linearidade na segunda linha:
D = \det\bigl(2R_3,\;R_2-3R_1,\;R_1\bigr) = \det\bigl(2R_3,R_2,R_1\bigr) -3\,\det\bigl(2R_3,R_1,R_1\bigr).
Como o segundo termo tem duas linhas iguais, \det(2R_3,R_1,R_1)=0. Logo
D = \det\bigl(2R_3,R_2,R_1\bigr).
Passo 4
Fatoramos o escalar 2 da primeira linha:
D = 2\,\det\bigl(R_3,R_2,R_1\bigr).
Passo 5
Para voltar à ordem (R_1,R_2,R_3) trocamos a linha 1 com a linha 3, gerando um sinal -1: