Sabendo que \lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, calcule os valores dos limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0}(1+5 x)^{\frac{2}{x}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to 0}(1+5x)^{\frac{2}{x}}
e lembra o limite clássico
\lim_{t\to\pm\infty}\Bigl(1+\frac1t\Bigr)^t=e.
Aqui vamos usar a técnica de reescrever a expressão na forma \exp(\dots) e depois calcular o limite do expoente.

Passo 2

Definimos
y=(1+5x)^{\frac{2}{x}}.
Podemos escrever
y=\exp\Bigl(\ln y\Bigr) =\exp\Bigl(\tfrac{2}{x}\ln(1+5x)\Bigr).
Logo
\lim_{x\to0}y =\exp\Bigl(\lim_{x\to0}\tfrac{2}{x}\ln(1+5x)\Bigr),
contanto que o limite do expoente exista finito.

Passo 3

Analisamos agora
L=\lim_{x\to0}\frac{2}{x}\ln(1+5x).
Este é um caso \tfrac{0}{0}, pois quando x\to0 temos \ln(1+5x)\to0 e o denominador x\to0.

Passo 4

Para calcular L usamos a expansão em primeira ordem de \ln(1+u) quando u\to0:
\ln(1+u)=u+o(u).
Aqui u=5x, logo \ln(1+5x)=5x+o(x). Substituindo em L
L=\lim_{x\to0}\frac{2}{x}\bigl(5x+o(x)\bigr) =\lim_{x\to0}\bigl(10+o(1)\bigr) =10.

Passo 5

Substituindo L=10 de volta na expressão em forma exponencial, temos
\lim_{x\to0}(1+5x)^{\frac{2}{x}} =\exp(L) =\exp(10).

Resposta

\displaystyle e^{10}

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