Sabendo que \lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, calcule os valores dos limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(\frac{x-1}{x+1}\Bigr)^{x}.
O conteúdo envolve escrever a base numa forma do tipo 1 + \text{(pequeno)} e usar o conhecido limite \displaystyle \lim_{u\to\pm\infty}\bigl(1+\tfrac1u\bigr)^{u}=e.

Passo 2

Reescrevemos a fração num binômio de primeira ordem em x. Note que
\frac{x-1}{x+1} =\frac{(x+1)-2}{x+1} =1-\frac{2}{\,x+1\,}.

Passo 3

Como x\to -\infty, é conveniente substituir t=-x, de modo que t\to+\infty. Então
x+1=-t+1=-(t-1),
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1-\frac{2}{x+1} =1+\frac{2}{\,t-1\,} \quad\text{e}\quad x=-t.
Assim o limite vira
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(\tfrac{x-1}{x+1}\Bigr)^{x} =\lim_{t\to+\infty}\Bigl(1+\tfrac{2}{t-1}\Bigr)^{-t}.

Passo 4

Agora escrevemos
\Bigl(1+\tfrac{2}{t-1}\Bigr)^{-t} =\Bigl[\bigl(1+\tfrac{2}{t-1}\bigr)^{\,t-1}\Bigr]^{-\,\frac{t}{\,t-1\,}}.
Sabendo que \lim_{t\to\infty}\bigl(1+\tfrac{2}{t-1}\bigr)^{\,t-1}=e^2 e que \lim_{t\to\infty}\tfrac{t}{t-1}=1, obtemos
\lim_{t\to+\infty}\Bigl(1+\tfrac{2}{t-1}\Bigr)^{-t} =(e^2)^{-1}=e^{-2}.

Resposta

e^{-2}.

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