Sabendo que lim x a f(x)=+infty, mostre que lim x a 1f(x)=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se limxto a f(x)=+infty, então limxto a tfrac1f(x)=0. O conteúdo aqui é definição de limite infinito e limite finito usando condição varepsilon- de.

Passo 2

Primeiro, lembramos a definição de limxto a f(x)=+infty: para todo M>0 existe de0 tal que, se 0<|x-a|, então f(x)>M.

Passo 3

Agora, peguemos um varepsilon>0 arbitrário e defina M=tfrac1varepsilon, que é positivo.

Passo 4

Como limxto a f(x)=+infty, existe de0 tal que, sempre que 0<|x-a|, teremos f(x)>M=tfrac1varepsilon.

Passo 5

Da desigualdade f(x)>tfrac1varepsilon segue 0<1f(x) Isso mostra que, para todo varepsilon>0, existe de0 satisfazendo 0<|x-a| implica |1/f(x)-0|.

Passo 6

Portanto, pela definição de limite finito, concluímos que limxto a tfrac1f(x)=0.

Resposta

0

Exercícios relacionados