Sabendo que \lim _{x \rightarrow \pm \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, calcule os valores dos limites a seguir:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3^{x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{3^{x}-1}{x}.
Este limite envolve uma função exponencial e lembra a derivada de a^x em x=0. Vamos usar a reescrita de 3^x em termos de e e o limite fundamental
\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.

Passo 2

Escrevemos 3^x como potência de e. Sabemos que
3^x = e^{x\ln(3)}.

Passo 3

Substituindo na expressão do limite, vem
\frac{3^x-1}{x} = \frac{e^{x\ln(3)}-1}{x}.
Para aplicar o limite fundamental, definimos
u = x\,\ln(3),
de modo que, quando x\to0, temos u\to0 e x = u/\ln(3).

Passo 4

Reescrevendo o quociente em função de u, obtemos
\frac{e^{x\ln(3)}-1}{x} = \frac{e^{u}-1}{u}\;\frac{u}{x} = \frac{e^{u}-1}{u}\,\ln(3).
Ao fazer u\to0, o fator \frac{e^{u}-1}{u} tende a 1, restando
\lim_{x\to0}\frac{3^x-1}{x} = \ln(3).

Resposta

\ln(3)

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